UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Rubens Sucupira - Lista 3, Questão 73c
Calcule os seguintes limites usando a Regra de L’Hospital:
c) .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular o valor do limite usando a Regra de L’Hospital. Mas como é mesmo essa regra?
Bom, a regra de L’Hospital salva nossa vida quando temos uma indeterminações do tipo , , , , , e por aí vai. Para os casos da interminação nos quocientes, o que nós fazemos é derivar a função no numerador e derivar a função no denominador separadamente.E no caso das outras indeterminações, a gente sempre vai tentar transformar a função em um quociente pra depois aplicar a regra de L’Hospital.
Pode aplicar quantas vezes forem necessárias pra fugir da indeterminação e conseguir aplicar o limite, beleza?
Vamos lá!
Passo 2
Nosso limite é dado por:
Repare que substituindo na função, caímos em uma indeterminação do tipo . Então, vamos aplicar L’Hospital, derivando em cima e embaixo separadamente, pra fugir da indeterminação. Assim, usando a regra da cadeia na derivação, temos:
Usando a identidade trigonométrica :
Continuamos na indeterminação .
Calma, vamos aplicar L’Hospital novamente. Derivando numerador e denominador separadamente:
É, galera, ainda não foi dessa vez. Mas não desiste, vamos de L’Hospital de novo:
E como a gente é brasileiro e não desiste nunca, lá vamos nós de L’Hospital:
Uffa!! Agora dá pra aplicar o limite, porque não temos mais indeterminação. Assim, temos:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉