UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Rubens Sucupira - Lista 3, Questão 73h
Calcule os seguintes limites usando a Regra de L’Hospital:
h) .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular o valor do limite usando a Regra de L’Hospital. Mas como é mesmo essa regra?
Bom, a regra de L’Hospital salva nossa vida quando temos uma indeterminações do tipo , , , , , e por aí vai. Para os casos da interminação nos quocientes, o que nós fazemos é derivar a função no numerador e derivar a função no denominador separadamente. E no caso das outras indeterminações, a gente sempre vai tentar transformar a função em um quociente pra depois aplicar a regra de L’Hospital.
Pode aplicar quantas vezes forem necessárias pra fugir da indeterminação e conseguir aplicar o limite, beleza?
Vamos lá!
Passo 2
Nosso limite é dado por:
Aqui, substituindo zero na função, nós temos uma indeterminação do tipo . Vamos supor que esse limite tenha um valor e pra tentar tirar esse expoente que tá dando problema, vamos aplicar o ln na função e reescrever ela assim:
Então, aplicando as propriedades de logaritmos, temos:
Antes de aplicar L’Hospital, vamos reescrever nossa função agora como um quociente:
Mas é um identidade trigonométrica que nós podemos substituir:
Isso nos gera uma indeterminação do tipo . Mas nós podemos aplicar L’Hospital pra fugir dela, derivando numerador e denominador separadamente:
Ainda não saímos da indeterminação. Vamos dar uma arrumada na nossa função:
E aplicar L’Hospital novamente:
Agora sim, aplicando o limite:
Então, pra isolar e descobrir o valor do limite, vamos aplicar a exponencial dos dois lados:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉