Origem do Exercício
Certo lago pode suportar uma população máxima de peixes. Considerando que há poucos peixes no lago, sabe-se que a taxa de crescimento populacional será proporcional ao produto da população existente pela diferença da população existente a partir de , ou seja, , onde é a taxa de crescimento para uma população de dimensão .
Pergunta-se: Para que população a taxa de crescimento será máxima?
Passo 1
A pergunta é: qual o valor de que maximiza a função .
Sabemos que para fazer essa maximização, precisamos procurar o ponto crítico de :
Passo 2
E o ponto crítico acontece em:
E podemos confirmar que isso é um ponto de máximo se verificarmos que a derivada segunda é negativa:
Ótimo, então de fato temos um máximo na taxa quando
Resposta
A taxa de crescimento é máxima quando a população é de .