Certo lago pode suportar uma população máxima de 20.000 peixes. Considerando que há poucos peixes no lago, sabe-se que a taxa de crescimento populacional será proporcional ao produto da população existente pela diferença da população existente a partir de 20.000 , ou seja, f x = k x . ( 20.000 - x ) , onde f x é a taxa de crescimento para uma população de dimensão x .

Pergunta-se: Para que população a taxa de crescimento será máxima?

Passo 1

A pergunta é: qual o valor de x que maximiza a função f x .

Sabemos que para fazer essa maximização, precisamos procurar o ponto crítico de f ( x ) :

d d x f x = d d x k x 20000 - x

f ' x = d d x 20000 k x - k x 2

f ' x = 20000 k - 2 k x

Passo 2

E o ponto crítico acontece em:

f ' x = 0

20000 k - 2 k x = 0

20000 - 2 x = 0

x = 10.000

E podemos confirmar que isso é um ponto de máximo se verificarmos que a derivada segunda é negativa:

f ' ' x = d d x f x = d d x 20000 - 2 x = - 2

Ótimo, então de fato temos um máximo na taxa f ( x ) quando x = 10.000

Resposta

A taxa de crescimento é máxima quando a população é de x = 10.000 .

Exercícios de Livros Relacionados