A concentração C de certa substância química no fluxo sanguíneo em t horas após ter sido injetado no músculo é dada por

C = 3 t 54 + t 3

Em que instante a concentração é máxima? Qual é a concentração máxima?

Passo 1

Basta maximizar essa função C .

Derivando C com a regra do quociente:

C ' t = 3 54 + t 3 - 3 t . 3 t 2 54 + t 3 2

C ' t = 3 54 + t 3 - 3 t 3 54 + t 3 2

C ' t = 3 54 - 2 t 3 54 + t 3 2

Passo 2

Agora vamos zerar essa derivada pra achar os pontos críticos:

C ' t = 0 ⇔ 54 - 2 t 3 = 0

2 t 3 = 54

t 3 = 27

⇒ t = 3

Ok, então o único ponto crítico é em t = 3 .

Passo 3

O único ponto em que a derivada muda de sinal é em t = 3 . E você pode reparar que

C ' 0 = 3.54 54 2 > 0

Ou seja:

t < 3 ⇔ C ' t > 0

Da mesma forma, temos:

C ' 10 = 3 54 - 2000 54 + 1000 2 < 0

Ou seja:

t > 3 ⇔ C ' t < 0

Disso concluímos que:

f   é   c r e s c e n t e , t < 3 f   é   d e c r e s c e n t e , t > 3

Passo 4

Portanto, t = 3 é o ponto de máximo global que queríamos. Esse é o instante onde a concentração é máxima.

E esse valor da concentração é:

C 3 = 3.3 54 + 3 3 = 9 9.6 + 9.3

⇒ C 3 = 1 6 + 3 = 1 9

Resposta

No instante t = 3 .

A concentração máxima é 1 / 9 .

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