UFPE, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Lista 2 de Exercícios, Questão 29ive
Considere em cada um dos itens abaixo a função dada por e em seguida determine o que se pede:
e) A função assume máximo ou mínimo absoluto? Em caso afirmativo, obtenha as equações das assíntotas horizontais ao gráfico de .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu uma função , e pediu pra gente verificar se ela tem máximos e mínimos, caso tenha, nós vamos calcular as assíntotas da função também.
Pra verificar se a função possui máximos ou mínimos, precisamos determinar seus pontos críticos. Nós conseguimos fazer isso derivando a função e igualando ela a zero. Pra diferenciar esses pontos críticos entre máximos ou mínimos vamos usar a segunda derivada.
Se a segunda derivada no ponto for negativa (menor que zero), temos um ponto de máximo. Se ela for positiva (maior do que zero), temos um ponto de mínimo.
Aí só vai faltar determinar se esses máximos e mínimos são globais, nós vamos fazer isso calculando os limites nos extremos da função.
Vamos lá!
Passo 2
Galera, vamos começar calculando a derivada de usando a regra do quociente:
Pra , temos:
Para obter o valor de vamos usar a função exponencial , que o inverso da função logarítmica:
Então, elas se cancelam:
Encontramos nosso ponto crítico.
Passo 3
Agora vamos aplicar o teste da segunda derivada, derivando novamente :
Em , temos:
Como , fica:
Encontramos , então temos um ponto de máximo em . Esse ponto vai ser um máximo absoluto se for maior que os outros pontos de máximo e maior que as fronteiras da função.
Passo 4
Não há outros valores de máximo, pois, além de , só é ponto crítico da função. E não há valores menores que para testar, uma vez que não existe ln de valores negativos no domínio da função.
Temos que testar as fronteiras, calculando os limites:
E
Podemos aplicar L’Hospital:
Assim, não existem valores maiores que:
Esse é, portanto, um ponto de máximo global ou absoluto. E como nosso limite quando é igual a zero, temos uma assíntota horizontal em .
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉