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Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos

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Enunciado

  1. Considere a f : R → R dada por f x = x e - x 2 e suas derivadas f ' x = 1 - 2 x 2 e - x 2   e f ' ' x = 4 x 3 - 6 x e - x 2
  1. Determine, se houver, os pontos de máximo e de mínimo locais de f . É possível garantir que eles são máximo ou de mínimos globais? Justifique.

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós precisamos achar o pontos de máximo e mínimo e para isso precisamos encontrar os pontos críticos.

Os pontos críticos são aqueles onde a nossa primeira derivada é igual a zero. Entao precisamos encontra-los e avaliar se é um máximo ou mínimo.

Bora lá!

Passo 2

Então, galerinha, a o problema nos forneceu essa derivada,

f ' x = 1 - 2 x 2 e - x 2

Vamos fazer agora f ' x = 0 para achar os pontos críticos:

f ' x = 1 - 2 x 2 e - x 2 = 0

A parte exponencial e - x 2 é sempre positiva. Então descobrirmos onde a função irá zerar precisamos analisar a parte polinomial:

1 - 2 x 2 = 0

x 2 = 1 2

x = ± 1 2

Logo, os pontos x = - 1 2 e x = + 1 2 são candidatos a pontos de máximo e mínimo.

Passo 3

Para sabermos se é uma ponto de máximo ou mínimo, precisamos agora verificar qual o valor da segunda derivada nesses pontos. Se ela for positiva, temos um ponto de mínimo. Se ela for negativa, temos um ponto de máximo.

O problema nos forneceu,

f ' ' x = 4 x 3 - 6 x e - x 2

Começando por x = - 1 2

f ' ' - 1 2 = 4 - 1 2 3 - 6 - 1 2 e - - 1 2 2

f ' ' - 1 2 = 4 2 e - 1 2

Logo, f ' ' - 1 2 > 0 e x = - 1 2 é um ponto de mínimo.

Passo 4

Já o ponto x = 1 2

f ' ' 1 2 = 4 1 2 3 - 6 1 2 e - 1 2 2

f ' ' 1 2 = - 4 2 e - 1 2

Logo, f ' ' - 1 2 < 0 e x = 1 2 é um ponto de máximo.

Passo 5

Além disso, temos que ambos os pontos são máximos e mínimos globais, respectivamente.

Resposta

  • x = - 1 2 é um ponto de mínimo.
  • x = 1 2 é um ponto de máximo.

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