1. Considere a função f(x) = 31 * e^(31x) + 7 * x^5 + 4 * x + 1 . Assinale a única alternativa verdadeira.

A: A função f tem valor máximo local e também tem valor mínimo local.

B : A função f tem valor mínimo local, mas não tem valor máximo local.

C: A função f não tem nem valor máximo local nem valor mínimo local.

D: A função f tem valor máximo local, mas não tem valor mínimo local.

E: A função f tem infinitos valores máximos locais e também infinitos valores mínimos locais.

Passo 1

Vem comigo que a gente resolve detona essa questão juntos!

Para sabermos se uma função tem máximos ou mínimos locais temos que primeiro ver se a derivada dessa função zera em algum ponto x .

Caso isso aconteça a gente calcula a segunda derivada da função e avalia o valor dela nesses pontos e ver se ela é negativa é um ponto de máximo e se ela for positiva é um ponto de mínimo.

Caso a derivada função não zere em nenhum ponto essa função não tem valores de máximo nem de mínimo.

Vamos as contas!

Passo 2

Primeiro vamos calcular a deriva de f ( x ) , temos o seguinte:

f x = 31 e 31 x + 7 x 5 + 4 x + 1

Para derivar essa função vamos usar a regra da cadeia no termo exponencial, essa regra é dada por:

f g ' = f ' g ⋅ g '

Então temos o seguinte:

f ' x = 31 e 31 x 31 + 7 5 x 4 + 4

= 961 e 31 x + 35 x 4 + 4

Passo 3

Agora vamos ver se essa derivada zera para algum valor de x , temos:

f ' x = 961 e 31 x + 35 x 4 + 4 = 0

⇒ 961 e 31 x + 35 x 4 = - 4

A exponencial e 31 x é função que nunca zera, logo não tem nenhum valor de x que faça com que essa deriva seja igual a zero.

Logo a função f ( x ) não tem valores de máximo nem de mínimo.

Então a alternativa escolhida da vez é a letra C .

Resposta

C : A função f não tem nem valor máximo local nem valor mínimo local.

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