Considere a função f   :   R →   R cuja derivada é f ' x = e - x ( x 2 - 2 x )

(d) os pontos de máximo local de f

Passo 1

Faaaala, galeraaaa! Tudo belezinha?

Bom, para descobrir o ponto de máximo local, basta seguir alguns passos. Devemos:

  • Encontrar a derivada primeira;
  • Obter os pontos críticos, ou seja, onde f ' x = 0 ;
  • Encontrar a derivada segunda;
  • Por fim, sabendo quais são os pontos críticos, devemos analisar se:
    • Concavidade para cima: ponto de mínimo;
    • Concavidade para baixo: ponto de máximo.

Sabemos que a derivada primeira é

f ' x = e - x x 2 - 2 x

Calculando a derivada segunda, pela regra da cadeia, temos

f ' ' x = e - x x 2 - 2 x ' = e - x ' x 2 - 2 x x 2 - 2 x + e - x x 2 - 2 x ' =

f ' ' x = - e - x x 2 - 2 x + e - x ( 2 x - 2 )

f ' ' x = - e - x x 2 + 2 x e - x + 2 x e - x - 2 e - x

f ' ' x = - e - x x 2 + 4 x e - x - 2 e - x

Assim, podemos reescrever

f ' ' x - e - x x 2 + 4 x e - x - 2 e - x = e - x ( - x 2 + 4 x - 2 )

Calculando a inequação f ' ' x > 0 , temos

e - x - x 2 + 4 x - 2 > 0

Separando para analisar a expressão

e - x > 0       o u         - x 2 + 4 x - 2 > 0

Observe que e - x sempre será maior que zero, para qualquer valor pertencente aos reais.

e - x > 0      

- x 2 + 4 x - 2 > 0

Resolvendo a equação do segundo grau

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - 4 ± 4 2 - 4 - 1 ( - 2 ) 2 ( - 1 ) = - 4 ± 16 - 8 - 2

x ' = - 4 - 2 2 - 2 = 2 + 2

2 + 2 > 0

x ' ' = - 4 + 2 2 - 2 = 2 - 2

2 - 2 < 0

Então como essa parábola tem concavidade pra baixo, o termo é positivo no intervalo entre as raízes

2 - 2 < x < 2 + 2

Passo 2

Por fim, podemos desenhar o intervalo em que a concavidade da função é para baixo, para que possamos encontrar o ponto de máximo. Como mostra a figura abaixo.

Logo, quando 2 - 2 < 0     a   f u n ç ã o   t e m   c o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x

Portanto

2 - 2 < 0   é   p o n t o   d e   m á x i m o

Prontinho, até mais!

Resposta

2 - 2 < 0   é   p o n t o   d e   m á x i m o

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