UFF, Niterói - Praia Vermelha, Cálculo IA, P2 - 2022.2, Questão 1c
Considere a função , definida em seu maior domínio possível.
c) Determine em quais intervalos a função é crescente e em quais ela é decrescente, apresentando os pontos de máximo ou mínimo locais, se existirem.
Passo 1
Ooii povo bonito, vamo simbora matar mais uma questão!!
Aqui temos a função:
E, precisamos determinar os intervalos em que a função é crescente e decrescente, como também os pontos de máximo e mínimo locais. Vamo nessa?
Bom, pra encontrar os intervalos nos quais a função cresce ou decresce, precisamos calcular a derivada de . Onde a derivada for positiva, a função é crescente. Já quando a derivada for negativa, a função é decrescente.
Já para encontrar os pontos de máximo ou mínimo locais, precisamos verificar em quais pontos temos:
Show? Então bora lá, mãos à obra!
Passo 2
Pra começar precisaremos calcular a derivada de . Assim:
Como temos um produto de funções precisaremos usar a regra do produto:
Logo:
Temos que:
Substituindo, vamos ter:
Ou seja:
Muito bom!
Passo 3
Agora que já calculamos a derivada da nossa função , podemos analisar em quais intervalos ela será positiva ou negativa.
Temos o produto de duas funções, mas é a função exponencial e ela é sempre positiva.
Assim, o sinal de dependerá somente do termo .
Temos que:
Por outro lado:
E, por fim:
Excelente! Dessa forma, temos que:
Massa! Como falamos no passo , o sinal de definirá onde cresce ou decresce. Logo:
E, quando temos um ponto de máximo local, pois deixa de estar crescendo e passa a estar decrescendo.
Eaí, curtiram a solução? Obrigado pela atenção gente, até a próxima 😊