5. Considere a função .
- Determine os intervalos nos quais é crescente e decrescente.
- Determine os intervalos nos quais é côncova (concavidade voltada para cima) ou com convexa (concavidade voltaa para baixo).
- Determine os pontos de máximo e mínimo locais de .
Passo 1
- Oi, galerinha! Tudo bom? Para descobrirmos onde a função é crescente e onde ela descrece, precisaremos achar seus pontos críticos!
- Agora vamos analisar a segunda derivada, para então descobrir onde ela é concova ou convexa. Sempre que estivermos falando de concavidade, você já sabe que é sobre segunda derivada!
Para isso precisamos derivar a nossa função e igualar a zero.
Aplicando a regra da quociente para derivar ficamos com
Igualando a zero, ficamos com
Temos é um ponto crítico! Agora vamos analisar seu entorno!
Passo 2
Para , temos que (aqui se você quiser conferir, pode escolher qualquer valor valor menor que e substituir na derivada para encontrar um valor positivo). E para , temos (se quiser conferir aqui também, sem problemas). Logo é crecente em valor menores que e decrescente em valores maior que .
Agora vamos para letra c e depois voltamos para letra b
Passo 3
c)Aqui temos que dizer sinalizar os mínimos e máximos locais. Nos passos anteriores já vimos que é um ponto critico e temos também que a função é crescente para valores menores que e decrescente para valores maiores . Então já fizemos quase tudo que precisa ser feito pra resolver o item c. Se desenharmos esse perfil num gráfico vamos verificar que esse é um ponto de máximo local.
Se a função cresce até determinado ponto e depois passa a decrescer, então quer dizer que esse é um ponto de máximo local. Que é o que acontece aqui em . Da mesma forma, se a função decresce até um ponto e depois passa a crescer, esse seria um ponto de mínimo local. Mas esse segundo caso é só uma dica pra outras questões!
LogoAgora que sabemos que é um ponto de máximo local, vamos achar o valor da função nesse ponto:
O máximo local será em .
Passo 4
Fazendo a segunda derivada temos,
Igualando a zero ficamos com
Agora vamos analisar o seu entorno, seguindo o mesmo raciocinio da primeira derivada!
Para , temos que e para , temos . Logo é convexa em valor menores que e concova côncova em valores maior que .
- Quando , a função é convexa
- Quando , a função é côncava
Resposta
- é crecente em valor menores que e decrescente em valores maior que .
- é convexa em valor menores que e concova em valores maior que .
- O máximo local será em .