UFF, Sem Campus, Cálculo IIB, 2ª VE - Prof. Sérgio Almaraz - 2014.2, Questão 1b
Considere a função .
Determine os máximos e mínimos de no compacto .
Passo 1
Fala aí galera, tudo bem?
Nessa questão recebemos a função de duas variáveis dada por:
E, precisamos determinar os máximos e mínimos de na região:
Pra fazer isso, precisamos primeiramente calcular os pontos críticos globais de . Fazemos isso resolvendo o sistema dado pela equação:
Depois que encontrarmos os pontos críticos, temos que analisar a nossa fronteira, dado que essa região é fechada.
Após reunirmos todos os pontos críticos, podemos analisá-los calculando os seus valores na função .
Show de bola! Vamo nessa!
Passo 2
Pra começar, vamos encontrar os pontos críticos da função através do gradiente.
Temos que:
Daí:
Logo:
Assim, o único ponto crítico que encontramos é . Esse ponto pertence à nossa região, pois:
Beleza! Precisamos agora analisar a fronteira da nossa região. Na fronteira, temos:
Daí, substituindo na nossa função, vamos ter que na fronteira vale:
Pra calcular os pontos de máximo e mínimo dessa função, podemos fazer:
Assim, pela regra do produto, temos:
Logo, para que essa derivada seja nula, precisamos ter:
Assim, temos:
Logo, temos os seguintes pontos críticos:
Show de bola!
Passo 3
Agora, calcular quanto vale para cada um desses pontos. Assim, descobriremos quais são os máximos e mínimos de nessa região.
Começando por , temos:
Os próximos:
Perfeito!
Portanto, temos:
E é isso gente! Finalizamos a questão.
Espero que vocês tenham curtido a solução, até a próxima 😊