UFMG; Cálculo 1; Prova 2 – 2022.1; Exercício 5
5) Considere a função , onde . Encontre os valores de máximos e mínimos locais (se houver). A função tem um valor de mínimo global? Encontre uma equação para a assíntota oblíqua de .
Passo 1
Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!
Sem enrolar, vamos começar o exercício procurando pelos valores de máximo e mínimo. Para isso, faremos o teste da primeira derivada e o teste da segunda derivada.
O teste da primeira derivada consiste em derivar a função uma vez e igualar a para encontrarmos uma possível coordenada que seja um ponto crítico.
Então vamos nessa, derivando :
Igualando a zero:
Quando colocamos em :
Então, o ponto é crítico.
Passo 2
Para descobrirmos se esse ponto crítico é de máximo ou de mínimo, vamos fazer o teste da derivada segunda. Esse teste consiste em derivar e verificar o resultado com o ponto crítico. Se a resposta for um número positivo, o ponto é de mínimo, se for negativo, o ponto é de máxima.
Então vamos nessa:
Aplicando :
Portanto, é um ponto de mínimo.
Esse é um mínimo global, é o único ponto que muda a tendência do eixo no gráfico.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a assíntota oblíqua de .
Essa assíntota deve ser uma reta que tem o formato .
Para encontrarmos e , devemos seguir:
Perceba que precisamos começar o cálculo com e precisamos encontrar tanto o limite tendendo ao infinito positivo quanto o limite tendendo ao infinito negativo.
Começando com o limite tendendo a infinito positivo, chamaremos e :
Como , não podemos calcular . Vamos avaliar o próximo limite.
Passo 4
Agora faremos o limite tendendo a infinito negativo, chamaremos e :
Então, para :
Então, a assíntota é:
Ufa! Terminamos!
Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?
Resposta
Respostas no desenvolvimento acima.