Considere a função f(x) = x^4 - 8x^2 + 8 , restrita ao intervalo [-1,6] .

a. Determine os subintervalos onde f é crescente, assim como aqueles onde f é decrescente.

b. Usando as informações do item anterior, determine os pontos de máximo e de mínimo de f , indicando se são absolutos(globais) ou relativos(locais).

Passo 1

Oi, gente bonitaaaaaaa! Bora fazer mais um exercício?!

A questão deseja que determinemos quais são os subintervalos onde a função é crescente e em quais intervalos a função é decrescente. Sendo,

f x = x 4 - 8 x 2 + 8

Essa função é limitada ao intervalo de [ - 1,6 ] .

Além disso, devemos também informar quais são os pontos de máximos e mínimos da função f , e indicar se esses pontos são pontos globais ou locais.

Por onde começamos???

Passo 2

Meu povo, quando a função passa a ter um grau maior ou igual a 3 é difícil conseguirmos imaginar com nitidez o gráfico da função. Tá, mais precisamos então determinar em que intervalos essa função cresce e decresce sem precisar desenhar essa função f x = x 4 - 8 x 2 + 8 . E agora?

Calmaaa! Nem tudo está perdido hahaha

Como a derivada de uma função indica a angulação da reta tangente a cada ponto da curva, podemos utilizar desse recurso matemático para analisar em que momento a função cresce e em que momento ela decresce.

Sendo assim,

d x 4 - 8 x 2 + 8 d x = 4 x 4 - 1 - 8 2 x 2 - 1 + 0

= 4 x 3 - 16 x

Colocando o 4 x em evidência...

= 4 x ( x 2 - 4 )

Então, agora precisamos fazer a análise do sinal desse produto tal qual fazíamos quando estudamos inequações.

Para x 2 - 4 :

E agora para 4 x :

Passo 3

Com as imagens anteriores conseguimos montar uma tabelinha de estudo do sinal para a derivada 4 x ( x 2 - 4 ) :

Ótimo! Só que preciso lembrar aos senhores (as) que a nossa função é limitada ao intervalo de [ - 1,6 ] . Portanto, o estudo do sinal da nossa derivada também será limitado a esse intervalo.

Logo vemos que

A nossa função f x = x 4 - 8 x 2 + 8 é crescente para os subintervalos:

[ - 1,0 [     e ] 2,6 ]

E decrescente para o intervalo de

] 0 ,   2 [

Galerinha! Reforçando, quando a derivada é positiva significa que a nossa função está crescendo. Já quando a derivada é negativa significa que a nossa função está decrescendo. Uma vez que a derivada representa o coeficiente angular da reta tangente à curva.

Passo 4

Show! Agora vamos dar uma olhadinha no gráfico dessa função.

Então vemos que super confere os resultados que chegamos até aqui. Agora precisamos determinar quais são os pontos de máximos e mínimos da função e quais são os pontos globais e quais são locais.

Antes, é necessário que compreendamos o que são pontos globais e o que são pontos locais.

Os pontos de máximos e mínimos locais são pontos de derivada igual a zero, ou seja, pontos críticos que assumem os valores máximos/ou mínimos dentro de um determinado intervalo.

Olhando o gráfico acima podemos afirmar que o ponto x   = 0 é um ponto de máximo local e que o ponto x   =   - 1 é um ponto de mínimo local.

Já os pontos de máximos/ mínimos globais são os extremos do nosso conjunto imagem, ou seja, é o maior e o menor valor que a nossa função pode assumir. Dessa forma, concluímos que x   = 2 temos um ponto de mínimo global e para x   =   6   temos um ponto de máximo global, uma vez que a função só aumenta depois de x   = 3 e é limitada ao intervalo de [ - 1,6 ] .

Resposta

Resolução nos passos acima

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