Considere a função f(x) = x^4 * ln(x) . O valor de x0 tal que f(x) ≥ f(x₀) para todo x > 0 é:

  1. e^(-1/4) .
  2. e^4 .
  3. e^(-4) .
  4. e^(1/4) .

Passo 1

A questão quer saber um valor x 0 tal que qualquer outro ponto com x maior que zero da função f x seja maior ou igual a ele.

O que ela quer, traduzindo, é o valor mínimo de f que está em algum ponto crítico. Para achá-lo, vamos achar os pontos críticos derivando pela regra do produto:

f ' x = 4 x 3 ln ⁡ x + x 4 ⋅ 1 x = x 3 4 ln ⁡ x + 1

Passo 2

Vamos agora chegar aos pontos críticos que estão onde a derivada é zero ou não existe. Ela zera em x = 0 , mas esse ponto não faz parte do domínio, já que o ln ⁡ x explode aí. Então vamos descartá-lo. Assim sendo, sobra:

4 ln ⁡ x + 1 = 0

Isolemos o log ⁡ x :

4 ln ⁡ x = - 1 ⟹ ln ⁡ x = - 1 4

Aplicando a exponencial de base e :

e ln ⁡ x = e - 1 4

Como a exponencial de base e é a inversa de l n , então:

x = e - 1 4

Esse é o único ponto crítico plausível e não há nenhuma alternativa que diz que não há solução, então vamos considerá-lo como sendo mínimo e marcar a letra a .

Resposta

x 0 = e - 1 4

Letra a .

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