UFRJ. Cálculo 1. Prova P2. 2022.1. Questão 4.
4 – Considere uma reta vertical que intercepta os gráficos e nos pontos e , respectivamente. Sabendo que o comprimento do segmento é o menor possível, determine o valor de .
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Nessa questão foi dada duas equações que vamos chamar de e .
Entre o gráfico dessas equações, existe um segmento de reta de comprimento variável .
Com essas informações, queremos saber qual é a menor distancia possível do seguimento .
E aí! Como fazemos isso? 🤔🤔
Podemos considerar e como funções e , e também a distância como .
Em uma função , o que nos dá a altura de um ponto dessa função? O próprio resultado de , não é?
Então podemos dizer que a altura é a subtração entre e ? Ou seja
Logo, se é a função que resulta na distância entre as duas funções, se encontrarmos o ponto mínimo de , encontramos o resultado!
Entendeu? Bora ver na prática! 😁
Passo 2
Vamos começar substituindo e em
Simplificando...
Para encontrar o ponto mínimo de , vamos encontrar os pontos críticos derivando e igualando a .
Derivando pelo método de derivação polinomial multiplicando a variável pelo seu expoente e subtraindo da sua potência...
Igualando a
Isolando
Como , então
Perceba que e que podemos reescrever como , portanto
Como está em módulo, podemos ter ou , concorda?
Então temos apenas dois pontos críticos para a função
Tranquilo até aqui? 👀
Passo 3
Agora, a maneira mais rápida de verificar qual dos pontos representa a menor distância , é substituir e em .
Para , temos
Como ...
A distância entre as equações em é !
Agora para
Como seguimos com uma equação muito parecida com a anterior.
Logo, em a distância entre as funções também é igual a !
Para efeito de verificação, vamos ver qual é a distância em um ponto diferente, por exemplo em .
, portanto, é realmente a menor distância possível entre e !
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍