UFRJ – Cálculo 1 – 2020.2 – P2 – M. Escolha
Dada a função , considere as afirmações abaixo:
é decrescente no intervalo ;
é côncava para baixo em
possui um máximo local em .
Podemos concluir que
As três afirmações são verdadeiras
As afirmações e são verdadeiras e a afirmação falsa.
As afirmações e são verdadeiras e a afirmação falsa.
A afirmação é verdadeira e as afirmações e falsa.
As três afirmações são falsas.
Passo 1
Vem comigo que a gente resolve detona essa questão juntos!
Para sabermos se uma função tem máximos ou mínimos locais temos que primeiro ver se a derivada dessa função zera em algum ponto .
Caso isso aconteça a gente calcula a segunda derivada da função e avalia o valor dela nesses pontos e ver se ela é negativa é um ponto de máximo (concavidade para baixo) e se ela for positiva é um ponto de mínimo (concavidade para cima).
Caso a derivada função não zere em nenhum ponto essa função não tem valores de máximo nem de mínimo.
E para saber se é decrescente basta ver se o valor da derivada de é negativo no intervalo que temos interesse.
Vamos as contas!
Passo 2
Antes de avaliarmos cada afirmação vamos calcular a primeira e a segunda derivada de , temos:
Assim:
Agora vamos derivar mais uma vez, assim:
Passo 3
Vamos começar com a primeira afirmação.
Temos que ver se é negativa no intervalo , função é dada por:
Os valores de e não estão dentro do intervalo segundo a notação .
Avaliando essa função em , temos:
Avaliando essa função em , temos:
Avaliando essa função em , temos:
Avaliando essa função em , temos:
Avaliando essa função em , temos:
Avaliando essa função em , temos:
Avaliando essa função em , temos:
Como todos os valores de são negativos temos que é decrescente nesse intervalo.
Essa afirmação é verdadeira!
Passo 4
Agora vamos analisar o a segunda afirmação.
Para saber se a função é concava para baixo nesse intervalo temos que ver se a segunda derivada dela é negativa nesse intervalo.
A segunda derivada é dada por:
O intervalo que estamos interessados é .
Olhando essa função podemos ver que para qualquer valor de menor que ela tem um valor negativo.
Quando , temos e para valores maiores que ela é positiva, então a afirmação é verdadeira.
Passo 5
Vamos para última afirmação.
Para saber se tem máximo local em temos que ver se e caso isso seja verdade temos que ver se .
Vamos ver o que temos para , temos:
Agora vamos ver se , temos:
Então é ponto de mínimo e não de máximo, então a terceira afirmação é falsa.
Então só afirmações e são verdadeiras, logo a letra correta é a .
Resposta
As afirmações e são verdadeiras e a afirmação falsa.