UFRJ – Cálculo 1 – 2020.2 – P1 – M. Escolha
Dada a função , considere as afirmações:
não é ponto de mínimo local nem ponto de máximo local de .
é ponto de máximo local de .
é ponto de mínimo local de .
não possui nem mínimo nem máximo locais.
Selecione a opção correta:
As quatro afirmações são falsas.
A afirmação é verdadeira e as demais são falsas.
As afirmações e são verdadeiras e as demais são falsas.
A afirmação é verdadeira e as demais são falsas.
A afirmação é verdadeira e as demais são falsas.
Passo 1
Vem comigo que a gente detona com essa questão juntos!
A função que o enunciado nos deu é a seguinte:
Nesse problema, vamos ter que pegar a função que o enunciado nos deu e derivar ela até a segunda derivada e analisar cada afirmação e ver se é verdadeira ou falsa.
Então vamos analisar cada afirmação separadamente e ver o que podemos fazer para saber se a afirmação é verdadeira ou falsa.
Vamos nessa então!
Passo 2
Vamos primeiro calcular a primeira derivada da função . Nessa conta vamos usar a regra da cadeia e a regra do produto ao nosso favor, temos:
Agora podemos analisar cada afirmação do enunciado.
Passo 3
A afirmação diz que não é ponto de mínimo e nem de máximo, temos que ver se a primeira derivada de é zero para . Temos:
Quando colocamos nossa função da ruim, já que temos um no denominador, então a função não é definida nesse ponto.
Então não é ponto de mínimo. Logo a afirmação é verdadeira.
Passo 4
Agora vamos para a . Vamos achar o ponto que zera a primeira derivada, temos:
Então temos que:
Mas se a gente substituir esse valor na função , vamos obter um número negativo, e como a função assume valores positivos em algum momento, podemos garantir que o ponto não será máximo, logo a alternativa é falsa.
Passo 5
Agora a afirmação .
Como já vimos no passo anterior o único ponto em que a primeira derivada é zero é , então não tem como não é ponto de mínimo da função .
Logo essa afirmação é falsa.
Passo 6
Por último a afirmação .
Ela falou que não tem pontos de máximo e nem de mínimo. Nós já achamos o único ponto em que a derivada é igual a zero que foi .
Então a afirmação é falsa.
Assim as única afirmação verdadeira é a , então a alternativa correta é a letra .
Resposta
A afirmação é verdadeira e as demais são falsas.