12. Dada a função f(x) = e^(5x) * raiz(x, 3) , considere as afirmações:

(I) x = 0 não é ponto de mínimo local nem ponto de máximo local de f .

II x = - 1 / 15 é ponto de máximo local de f .

III x = 1 / 15 é ponto de mínimo local de f .

(I V) f não possui nem mínimo nem máximo locais.

Selecione a opção correta:

A: A afirmação (I) é verdadeira e as demais são falsas.

B : A afirmação (I V) é verdadeira e as demais são falsas.

C: A afirmação (I I) é verdadeira e as demais são falsas.

D : As quatro afirmações são falsas.

E: As afirmações (I) e (I I I) são verdadeiras e as demais são falsas.

Passo 1

Vem comigo que a gente detona com essa questão juntos!

A função que o enunciado nos deu é a seguinte:

f x = e 5 x x 3

⇒ f x = e 5 x x 1 / 3

Nesse problema, vamos ter que pegar a função que o enunciado nos deu e derivar ela até a segunda derivada e analisar cada afirmação e ver se é verdadeira ou falsa.

Então vamos analisar cada afirmação separadamente e ver o que podemos fazer para saber se a afirmação é verdadeira ou falsa.

Vamos nessa então!

Passo 2

Vamos primeiro calcular a primeira derivada da função f ( x ) . Nessa conta vamos usar a regra da cadeia e a regra do produto ao nosso favor, temos:

f ' x = ( e 5 x ) ' x 1 / 3 + e 5 x ( x 1 / 3 ) '

= 5 e 5 x x 1 / 3 + 1 3 e 5 x x - 2 / 3

= 5 e 5 x x 1 / 3 + e 5 x 3 x 2 / 3

Agora vamos derivar mais uma vez, temos:

f ' ' x = ( 5 e 5 x ) ' x 1 / 3 + 5 e 5 x ( x 1 / 3 ) ' + 1 3 [ ( e 5 x ) ' x - 2 / 3 + e 5 x ( x - 2 / 3 ) ' ]

= 25 e 5 x x 1 / 3 + 1 3 5 e 5 x x - 2 / 3 + 5 3 e 5 x x - 2 / 3 - 2 9 e 5 x x - 5 / 3

= 25 e 5 x x 1 / 3 + 10 3 e 5 x x - 2 / 3 - 2 9 e 5 x x - 5 / 3

Agora podemos analisar cada afirmação do enunciado.

Passo 3

A afirmação ( I ) diz que 0 não é ponto de mínimo e nem de máximo, temos que ver se a primeira derivada de f ( x ) é zero para x = 0 . Temos:

f ' x = 5 e 5 x x 1 / 3 + e 5 x 3 x 2 / 3

Quando colocamos x = 0 nossa função da ruim, já que temos um x 2 / 3 no denominador, então a função não é definida nesse ponto.

Então x = 0 não é ponto de mínimo. Logo a afirmação é verdadeira.

Passo 4

Agora vamos para a ( I I ) . Vamos achar o ponto x que zera a primeira derivada, temos:

5 e 5 x x 1 / 3 + e 5 x 3 x 2 / 3 = 0

⇒ 5 e 5 x x 1 / 3 = - e 5 x 3 x 2 / 3

⇒ 5 x 1 / 3 = - 1 3 x 2 / 3

⇒ x 1 / 3 x 2 / 3 = - 1 1 5

Então temos que:

x = - 1 1 5

Agora para saber se esse ponto é de máximo, vamos jogar ele na segunda derivada de f ( x ) , temos:

f ' ' - 1 1 5 = 25 e - 1 / 3 - 1 15 1 / 3 + 10 3 e - 1 / 3 - 1 15 - 2 / 3 - 2 9 e - 1 / 3 - 1 15 - 5 / 3

Como podemos ver teremos números negativos dentro de raízes então não teremos resultado real, logo a alternativa ( I I ) é falsa.

Passo 5

Agora a afirmação ( I I I ) .

Como já vimos no passo anterior o único ponto em que a primeira derivada é zero é x = - 1 1 5 , então não tem como x = 1 1 5 ser ponto de mínimo da função f ( x ) .

Logo essa afirmação é falsa.

Passo 6

Por último a afirmação ( I V ) .

Ela falou que f não tem pontos de máximo e nem de mínimo. Nós já achamos o único ponto em que a derivada é igual a zero que foi x = - 1 / 15 .

Então a afirmação é falsa.

Assim a única afirmação verdadeira é a ( I ) , então a alternativa correta é a letra A .

Resposta

A : A afirmação ( I ) é verdadeira e as demais são falsas.

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