USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 7 - Máximos e Mínimos, Questão 2.9
Dentre todos os planos que são tangentes à superfície encontre aqueles mais distantes da origem.
Passo 1
Para encontrar o plano tangente mais distante da origem à superfície , podemos utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange. O objetivo é maximizar a distância da origem ao plano, sujeito à restrição da tangência ao superfície.
Primeiro, vamos definir a função a ser otimizada:
Nossa restrição é . Agora, vamos definir o Lagrangiano:
Agora, podemos calcular as derivadas parciais em relação a e igualá-las a zero:
Agora, podemos resolver esse sistema de equações:
A partir da equação 4, podemos isolar em termos de e :
Agora, substituímos esse valor nas equações 1, 2 e 3:
Agora, podemos encontrar os valores de que maximizam a distância da origem ao plano tangente:
Passo 2
Agora, podemos calcular a distância da origem a esses pontos:
Para
Para
Portanto, os planos tangentes mais distantes da origem à superfície têm uma distância de da origem.
Resposta
2