5. Determina valores de , , , para os quais a função definida por
Para um ponto de máximo local em , um ponto de mínimo local em , e
Passo 1
Oi, galerinha! Tudo bom? Precisamos definir quais são os coeficientes da equação. Para isso vamos juntar algumas informações fornecidas pelo enunciado para montarmos o nosso grande sistema e resolver!
Passo 2
Repara que entre as informações do enunciado, eles nos diz onde temos um ponto de mínimo e máximo. Esses pontos são os chamados pontos críticos e para achar um ponto crítico temos que descobrir onde a derivada da função é zero.
Derivando ficamos com,
Se em , temos um ponto te máximo, podemos dizer que a derivada zera nesse ponto, logo,
Logo nossa primera equação do sistema será:
Passo 3
Além disso também temos que é um ponto de mínimo. Logo, seguindo o mesmo raciocinio do passo anterior, ficamos com
Logo nossa segunda equação do sistema será:
Passo 4
A próxima informação é que . Logo,
Logo nossa terceira equação do sistema será:
Passo 5
Por fim temos também que . Logo
Logo nossa última equação do sistema será:
Passo 6
Juntando todas as equações chegamos no seguinte sistema:
Agora vamos resolver esse sistema!
Passo 7
Vamos começar substraindo as duas primeiras equações:
Ficamos com
Se , podemos dizer também que
Passo 8
Vamos olhar, agora, para as duas ultimas equações:
Mas agora sabemos que . Logo
Substraindo as duas, ficamos
Mas vimos também que . Logo,
Passo 9
Agora que encontramos , podemos encontra . Como
Passo 10
Por fim, para achar , podemos substituir os valores encontramos para os outros coeficientes em
Substituindo,