Determinar os pontos dos extremos relativos e os pontos de curvatura máxima da curva

y = x^3 - 3x

De qual lado dos extremos relativos encontram-se os pontos de curvatura máxima? Qual é o valor da curvatura máxima? Compare-o com o valor da curvatura nos extremos relativos.

(Sugestão: Esboçar a curva aproximadamente!)

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... Para determinar os pontos de extremos relativos e os pontos de curvatura máxima da curva y   =   x ³   -   3 x , precisamos calcular as derivadas primeira e segunda da função e analisar os seus valores.

Dessa forma, temos as derivadas:

y ' = 3 x 2 - 3

E

y ' ' = 6 x

Agora, precisamos descobrir os pontos críticos para podermos prosseguir em busca da curvatura máxima!

Bora lá??!!

😉

Passo 2

Assim, vamos encontrar os pontos críticos igualando a derivada primeira a zero e resolvendo a equação:

3 x 2 - 3 = 0 ∴

x = ± 3 3 ∴

x = ± 1

Portanto, os pontos críticos são x   =   1 e x   =   - 1 .

Passo 3

Agora, podemos analisar os pontos críticos e a curvatura da curva.

  • Ponto x = 1 :
  • Substituindo x   =   1 na equação original, temos:

    y   =   1 3   -   3 ( 1 )   =   - 2

    Portanto, o ponto ( 1 ,   - 2 ) é um extremo relativo.

    Substituindo x   =   1 na segunda derivada, temos:

    y ' '   =   6 ( 1 )   =   6

    Portanto, a curvatura neste ponto é 6 .

  • Ponto x = - 1 :

Substituindo x   =   - 1 na equação original, temos:

y   =   ( - 1 ) 3   -   3 ( - 1 )   =   - 2

Portanto, o ponto ( - 1 ,   - 2 ) é outro extremo relativo.

Substituindo x   =   - 1 na segunda derivada, temos:

y ' '   =   6 ( - 1 )   =   - 6

Portanto, a curvatura neste ponto é - 6 .

Agora, podemos comparar as curvaturas nos pontos de extremos relativos e nos pontos de curvatura máxima

Passo 4

No ponto x   =   1 , a curvatura é 6 , enquanto no ponto x   =   - 1 , a curvatura é - 6 .

Portanto, a curvatura é máxima no ponto x   =   1 .

Os pontos de curvatura máxima estão localizados do lado oposto dos pontos de extremos relativos.

No caso desta curva, o ponto de curvatura máxima está à direita do ponto x   =   1 .

Passo 5

Utilizando um software de simulação numérica, podemos plotar o gráfico e analisar os pontos que descobrimos:

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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