USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 1, Questão 7.23b
7.23. Determine, caso exista, a constante a para que tenha
b. um ponto de mínimo local em .
Mostre ainda que, para qualquer valor de , a função não terá um ponto de máximo local.
Passo 1
Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉
Essa questão nos pede para obter um valor para na função de modo que possua um mínimo local em e dizer por que não possui máximo local.
E aí, tem ideia do que fazer? 🤔
Para se obter os máximos e mínimos locais, precisamos obter os pontos críticos da função derivando e igualando a .
E para definir se o ponto é de máximo ou mínimo, precisamos fazer o teste da segunda derivada, assim se , o ponto é classificado como ponto de mínimo.
Sacou? Bora começar! 😁
Passo 2
Vamos começar derivando
Igualando a , temos
Para ser um ponto de mínimo, temos que substituir em , para descobrir para qual valor de esse quesito é satisfeito.
Tranquilo até aqui? 😉
Passo 3
Fazendo o teste da segunda derivada, temos
Substituindo e , temos
Como para , esse valor para é valido!
Já para dizer que não possui máximos locais, podemos olhar para a equação de
Perceba que o sinal de será sempre o mesmo que o sinal de , já que a potência de é ímpar. Dessa forma, no teste da segunda derivada, temos , ou seja, se e tem o mesmo sinal, o termo sempre será positivo, logo, sempre será maior que .
Sacou como faz? Responde Aí! 😉
