7.23. Determine, caso exista, a constante a para que f(x) = x^2 + a / x tenha

a. um ponto de mínimo local em x = 2 .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Essa questão nos pede para obter um valor para a na função f x = x 2 + a x de modo que f x possua um mínimo local em x = 2 .

E aí, tem ideia do que fazer? 🤔

Para se obter os máximos e mínimos locais, precisamos obter os pontos críticos da função derivando f x e igualando a 0 .

E para definir se o ponto é de máximo ou mínimo, precisamos fazer o teste da segunda derivada, assim se f ' ' x > 0 , o ponto é classificado como ponto de mínimo.

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

Vamos começar derivando f x

f ' x = d x 2 + a x d x = 2 x - a x 2

Igualando a 0 , temos

2 x - a x 2 = 0 → 2 x = a x 2

a = 2 x 3

Para x = 2 ser um ponto de mínimo, temos que substituir x = 2 em a , para descobrir para qual valor de a esse quesito é satisfeito.

a = 2 2 3

a = 16

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Fazendo o teste da segunda derivada, temos

f ' ' x = d 2 x - a x 2 d x = 2 + 2 a x 3

Substituindo a = 16 e x = 2 , temos

f ' ' 2 = 2 + 2 16 2 3 = 6

Como f ' ' 2 > 0 para a = 16 , esse valor para a é valido!

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

a = 16

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