USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 7 - Máximos e Mínimos, Questão 2.5
Determine as dimensões do paralelepípedo de volume máximo, com faces paralelas aos planos coordenados, inscrito no elipsóide .
Passo 1
Para determinar as dimensões do paralelepípedo de volume máximo, com faces paralelas aos planos coordenados, inscrito no elipsóide
, primeiro precisamos entender a natureza do problema.
O paralelepípedo de volume máximo inscrito em uma superfície é chamado de "paralelepípedo inscrito". Para encontrar as dimensões desse paralelepípedo inscrito, precisamos maximizar seu volume sujeito à restrição do elipsóide.
A equação do elipsóide é , que pode ser reescrita como:
Passo 2
Agora, queremos encontrar as dimensões a, b e c do paralelepípedo inscrito, que são os comprimentos dos semieixos do elipsóide nos eixos x, y e z, respectivamente.
Essas dimensões são proporcionais aos raios do elipsóide, portanto, podemos definir:
Substituindo essas dimensões na equação do elipsóide, obtemos:
Resolvendo essa equação para k:
Agora que encontramos o valor de k, podemos calcular as dimensões do paralelepípedo inscrito:
Portanto, as dimensões do paralelepípedo de volume máximo, com faces paralelas aos planos coordenados, inscrito no elipsóide , são:
, ,
Resposta
, ,