USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 7 - Máximos e Mínimos, Questão 2.6
Determine as dimensões do paralelepípedo de volume máximo, com faces paralelas aos planos coordenados, de modo que uma das faces está contida no plano z = 0 e a correspondente face oposta tem os seus vértices no paraboloide .
Passo 1
Por simetria, podemos considerar o problema no 1º octante. A intersecção do paraboloide com o 1º octante é B é um conjunto fechado e limitado de
Queremos determinar tal que o volume do paralelepípedo seja máximo, ou seja, queremos que maximize a função .
Passo 2
Se com ou ou , temos que e, portanto, é um ponto de mínimo de em . Procuramos então um ponto com , tal que seja máximo.
Substituindo , temos
Basta analisar os pontos críticos de
Em
As solu��ões desse sistema são e . Porem no conjunto considerado, apenas satisfaz.
Passo 3
Conclusão: e o paralelepípedo é o cubo
Resposta
paralelepípedo é o cubo