UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Rubens Sucupira - Lista 3, Questão 70
Determine as dimensões do retângulo de área máxima que pode ser inscrito em um triângulo de de base e de altura, estando um dos lados do retângulo sobre a base do triângulo.
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar as dimensões máximas do retângulo que tá inscrito em um triângulo de de base e de altura, com um dos lados do retângulo sobre a base do triângulo. Então, vamos imaginar que seja isso aqui:
O triângulo menor de cima é semelhante ao triângulo maior, então podemos usar as relações de semelhança de triângulo para encontrar uma expressão para a largura do retângulo . Além disso, nós sabemos que a área do retângulo é dada pelo produto da largura e da altura:
Assim, vamos encontrar uma expressão para a área , derivar essa expressão e igualar o resultado a zero para encontrar seus candidatos a máximo.
Vamos lá!
Passo 2
Usando a semelhança de triângulos, temos:
Isolando , temos a largura do retângulo dada por:
Passo 3
Como a área do retângulo é , substituindo , temos:
Derivando essa expressão, vamos obter:
Agora vamos igualar a zero para encontrar os pontos críticos:
Como a segunda derivada de é , que é sempre negativa, pelo teste da segunda derivada, é um ponto de máximo da função.
Passo 4
Como já temos a altura máxima do retângulo, substituindo na expressão da largura do passo , temos:
Então, as dimensões máximas do retângulo são e e sua área máxima será .
Valeu, galera! Até a próxima! 😉