UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral I, 3º Estágio - 2016.1, Questão 1a
a) Determine os extremos absolutos da função no intervalo .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado pediu pra gente encontrar os valores extremos da função no um intervalo fechado .
Existe um teorema (teorema de Weierstrass) que nos diz que uma função contínua necessariamente tem valores mínimo e máximo absolutos em um intervalo fechado. Esses valores extremos são pontos máximos ou mínimos relativos dentro do intervalo, ou pontos na extremidade do intervalo.
Para encontrar esses valores absolutos, vamos derivar a função , os candidatos a extremos são os pontos que anulam a derivada ou os extremos do intervalo. Aí basta compararmos os valores da função nesses pontos, o maior será o máximo absoluto e o menor o mínimo absoluto.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar derivando :
Colocando em evidência:
Então, nossos pontos críticos acontecem quando ou . Daí temos,
Além disso, nos extremos do nosso intervalo, temos e .
Passo 3
Vamos analisar agora os valores da função nos candidatos a extremos.
De acordo com esses valores, nosso máximo ocorre no ponto e o nosso mínimo no ponto , e temos nossos extremos absolutos no intervalo.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉