Determine máximos e mínimos locais e globais de y = f(x) = x^3 + 3*x^2 - 1 no intervalo [-4,2] .

Passo 1

Fala galera, tudo beleza?

Nessa questão precisamos determinar os pontos de máximos e mínimos locais e globais da função:

f x = x 3 + 3 x 2 - 1

Para fazer isso vamos usar a ideia da primeira derivada, pois os pontos críticos de uma função são aqueles que satisfazem:

f ' x = 0

Esses pontos podem ser de máximo local, mínimo local ou inflexão. Para que seja um ponto de máximo local deve valer:

f ' ' x < 0

Para ser um ponto de mínimo local, deve obedecer:

f ' ' x > 0

Daí, depois de descobrirmos todos os pontos de máximo local e de mínimo local, calculamos os valores de f nesses pontos, bem como nos pontos extremos, para encontrarmos o máximo global e o mínimo global.

Vamos nessa!

Passo 2

Vamos começar derivando nossa função:

f ' x = 3 x 2 + 6 x

Igualando a zero:

3 x 2 + 6 x = 0

Daí temos duas soluções:

x = 0

x = - 2

Vamos calcular a segunda derivada para descobrir que tipo de ponto crítico são esses dois pontos.

f ' ' x = 3 x 2 + 6 x '

= 6 x + 6

Daí:

f ' ' 0 = 6 > 0

Logo:

x = 0 é ponto de mínimo local

E:

f ' ' - 2 = 6 ⋅ - 2 + 6

=   - 6 < 0

Logo:

x = - 2 é ponto de máximo local

Passo 3

Agora que já encontramos os pontos de máximo e mínimo locais, vamos calcular os globais. Para isso, vamos calcular o valor que f assume para x = 0 , x = - 2 e para os pontos extremos x = - 4 e x = 2 (eles sempre são candidatos a pontos de máximo ou mínimo global, não podemos esquecer hein).

Temos:

f x = x 3 + 3 x 2 - 1

Daí:

f 0 = - 1

f - 2 = - 8 + 3 ⋅ 4 - 1 = 3

f - 4 = - 64 + 3 ⋅ 16 - 1 = 17

f 2 = 8 + 3 ⋅ 4 - 1 = 19

Daí, temos:

x = 2 é ponto de máximo global

x = 0 é ponto de mínimo global

Prontinho gente!! Matamos mais uma questãozita!

Até a próxima 😉

Resposta

x = 0 é ponto de mínimo local

x = - 2 é ponto de máximo local

x = 2 é ponto de máximo global

x = 0 é ponto de mínimo global

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