UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Derivadas, Questão 6.11
Determine máximos e mínimos locais e globais de no intervalo
Passo 1
Fala galera, tudo beleza?
Nessa questão precisamos determinar os pontos de máximos e mínimos locais e globais da função:
Para fazer isso vamos usar a ideia da primeira derivada, pois os pontos críticos de uma função são aqueles que satisfazem:
Esses pontos podem ser de máximo local, mínimo local ou inflexão. Para que seja um ponto de máximo local deve valer:
Para ser um ponto de mínimo local, deve obedecer:
Daí, depois de descobrirmos todos os pontos de máximo local e de mínimo local, calculamos os valores de nesses pontos, bem como nos pontos extremos, para encontrarmos o máximo global e o mínimo global.
Vamos nessa!
Passo 2
Vamos começar derivando nossa função:
Igualando a zero:
Daí temos duas soluções:
Vamos calcular a segunda derivada para descobrir que tipo de ponto crítico são esses dois pontos.
Daí:
Logo:
é ponto de mínimo local
E:
Logo:
é ponto de máximo local
Passo 3
Agora que já encontramos os pontos de máximo e mínimo locais, vamos calcular os globais. Para isso, vamos calcular o valor que assume para , e para os pontos extremos e (eles sempre são candidatos a pontos de máximo ou mínimo global, não podemos esquecer hein).
Temos:
Daí:
Daí, temos:
é ponto de máximo global
é ponto de mínimo global
Prontinho gente!! Matamos mais uma questãozita!
Até a próxima 😉
Resposta
é ponto de mínimo local
é ponto de máximo local
é ponto de máximo global
é ponto de mínimo global