UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Derivadas, Questão 6.9a
Determine:
O número real positivo cuja soma com o inverso do seu quadrado seja mínima.
Passo 1
Faaaala galerinha, como vocês estão?
Nessa questão precisamos determinar o número , tal que:
Cuja soma de com o inverso do seu quadrado seja mínima.
Ou seja, é como se tivéssemos a função:
E queremos calcular o ponto de mínimo dessa função. Como fazemos isso?
Bom, podemos usar a ideia da derivada. Isto é, fazemos:
As soluções dessa equação serão os pontos críticos da função.
E, os pontos críticos que satisfizerem:
São pontos de mínimo locais. Daí é só ver qual deles (caso tenha mais de um) resulta no menor valor de 😊
Vem com a gente!
Passo 2
Vamos começar derivando :
Igualando a zero, vem:
Logo:
Encontramos apenas uma solução. Muito provavelmente esse é o ponto de mínimo da função, mas vamos calcular a segunda derivada para termos certeza!
Daí é só substituirmos :
Como é positivo, já podemos concluir que:
É o número real e positivo cuja soma com o inverso do seu quadrado é mínima.
Curtiram a solução? Responde Aí!