UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Derivadas, Questão 6.9b
Determine:
o ponto da curva que está mais próximo da origem.
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem?
Precisamos calcular qual o ponto da curva:
Que está mais próximo da origem.
Ou seja, é o ponto que tem a menor distância até a origem, ponto .
A distância entre e é dada por:
Como esse ponto pertence à curva , podemos escrever:
Queremos que a distância seja mínima. Mas, se para um ponto é mínima, para esse mesmo ponto também é mínimo.
Assim, queremos calcular o mínimo da função de :
Bom, podemos usar a ideia da derivada. Isto é, fazemos:
As soluções dessa equação serão os pontos críticos da função.
E, os pontos críticos que satisfizerem:
São pontos de mínimo locais. Daí é só ver qual deles (caso tenha mais de um) resulta no menor valor de 😊
Vem com a gente!
Passo 2
Vamos começar derivando a função :
Igualando a zero, temos:
Massa! Então, temos duas possíveis soluções.
Passo 3
Para saber qual desses pontos críticos é um ponto de mínimo local, vamos calcular a segunda derivada:
Como está elevado à quarta potência, independente de substituirmos , teremos:
Portanto, ambos se tratam de pontos de mínimo local.
Nesse caso, vamos verificar qual deles nos dá o menor valor para .
Analogamente:
Ambos os pontos e estão à mesma distância da origem.
Isso até já era esperado pessoal, devido à simetria da curva com relação à bissetriz dos quadrantes.
Então é isso galera, nossas soluções são:
Prontinho!
Até a próxima 😉