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Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Raphael Constant - Lista 7 - Esboço de gráficos e Regra de L'Hôpital, Questão 2c

Determine os pontos críticos da função dada e classifique-os

f ( x ) = 1 x 4 + 2 x 3 + x 2 + 1

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Calc 1. Nosso objetivo é descobrir e classificar os pontos críticos da função

f ( x ) = 1 x 4 + 2 x 3 + x 2 + 1

Como fazemos isso? Precisamos encontrar os pontos onde a derivada é zero. Depois o sinal da segunda derivada, então verificamos a seguinte condição:

seja x um ponto onde f ' ( x ) = 0 . Então

x é ponto de máximo se

f ' ' ( x ) < 0

x é ponto de mínimo se

f ' ' ( x ) > 0

Se

f ' ' ( x ) = 0

então o teste é inconclusivo

Passo 2

Derivando temos:

f ( x ) = 1 x 4 + 2 x 3 + x 2 + 1

Logo

f ' ( x ) = - ( 2   x   ( 1   +   3   x   +   2   x 2 ) ) / ( 1   +   x 2   +   2   x 2   +   x 4 ) 2

Primeiro precisamos encontrar os pontos onde a derivada é zero

0 = - ( 2   x   ( 1   +   3   x   +   2   x 2 ) ) / ( 1   +   x 2   +   2   x 2   +   x 4 ) 2

⇒ x = - 1

⇒ x = - 1 / 2

⇒ x = 0

Que são nossos pontos críticos

Passo 3

Vamos obter a segunda derivada

f ' ' ( x ) = ( 2   ( 2   x   +   6   x 2   +   4   x 3 ) 2 ) / ( 1   +   x 2   +   2   x 3   +   x 4 ) 3   -   ( 2   +   12   x   +   12   x 2 ) / ( 1   +   x 2   +   2   x 3   +   x 4 ) 2

Vamos verificar nossos pontos críticos

f ' ' ( - 1 ) = - 2

f ' ' ( - 1 / 2 ) = 256 / 289

f ' ' ( 0 ) = - 2

Logo os pontos x = - 1 e x = 0 são pontos de máximo

e

x = - 1 / 2 é ponto de mínimo

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

D e s e n v o l v i m e n t o   A c i m a

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