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Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Raphael Constant - Lista 7 - Esboço de gráficos e Regra de L'Hôpital, Questão 2d

Determine os pontos críticos da função dada e classifique-os

f ( x ) = x 2 e - 5 x

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Calc 1. Nosso objetivo é descobrir e classificar os pontos críticos da função

f ( x ) = x 2 e - 5 x

Como fazemos isso? Precisamos encontrar os pontos onde a derivada é zero. Depois o sinal da segunda derivada, então verificamos a seguinte condição:

seja x um ponto onde f ' ( x ) = 0 . Então

x é ponto de máximo se

f ' ' ( x ) < 0

x é ponto de mínimo se

f ' ' ( x ) > 0

Se

f ' ' ( x ) = 0

então o teste é inconclusivo

Passo 2

Derivando temos:

f ( x ) = x 2 e - 5 x

Logo

f ' ( x ) = 2 x e - 5 x - 5 x 2 e - 5 x

Primeiro precisamos encontrar os pontos onde a derivada é zero

0 = 2 x e - 5 x - 5 x 2 e - 5 x

⇒ x = 2 / 5

⇒ x = 0

Que são nossos pontos críticos

Passo 3

Vamos obter a segunda derivada

f ' ' ( x ) = e ( - 5   x ) ( 2   -   20   x   +   25   x 2 )

Vamos verificar nossos pontos críticos

f ' ' ( 0 ) = 2

f ' ' ( 2 / 5 ) = - 2 / e 2

Logo os pontos x = 0 é mínimo

x = 2 / 5 é ponto de máximo

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

D e s e n v o l v i m e n t o   A c i m a

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