Determine os pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, bem como os pontos de máximo de mínimo locais das funções abaixo:

b) g ( x ) = e 2 x - e x

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinar os pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, bem como os pontos de máximo de mínimo da função g ( x ) = e 2 x - e x .

Para isso, precisamos saber que descobrimos os pontos críticos derivando a função e igualando a zero para depois analisarmos o valor de cada raiz na função original.

Os intervalos de crescimento e decrescimento são dados analisando a derivada, bem como os pontos de máximo e mínimo.

Vamos devagarinho, certinho? 😉

Passo 2

Bom... descobrindo os pontos críticos, temos:

g ' x = 0 ∴

2 e 2 x - e x = 0 ∴

x = ln ⁡ 1 2

Para x = ln ⁡ 1 2 :

f ln ⁡ 1 2 = - 1 4

Logo, temos o ponto crítico em ln ⁡ 1 2 ,   - 1 4 .

Passo 3

Agora, para os intervalos de crescimento e decrescimento, temos:

g ' x = 2 e 2 x - e x

  • Para x < ln ⁡ 1 2 temos que g ' x < 0 ;
  • Para x > ln ⁡ 1 2 temos que g ' x > 0 .

Dessa forma, vemos que a função é crescente em ln ⁡ 1 2 , ∞ e decrescente em - ∞ , ln ⁡ 1 2 .

Passo 4

Por fim, para os pontos de máximo e mínimo, temos:

O ponto ln ⁡ 1 2 ,   - 1 4 é de mínimo, pois a função passa de decrescente para crescente.

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

Ponto crítico em ln ⁡ 1 2 ,   - 1 4

Função é crescente em ln ⁡ 1 2 , ∞ e decrescente em - ∞ , ln ⁡ 1 2

Mínimo em ln ⁡ 1 2 ,   - 1 4

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