UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Rubens Sucupira - Lista 3, Questão 71
Determine os pontos da curva mais próximos do ponto . Calcule a distância mínima.
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar a distância mínima entre um ponto da curva e o ponto . Pra isso, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos:
Mas pra evitar trabalharmos com raízes mais complicadas, vamos minimizar o quadrado da distância, que vamos chamar de . Assim, para , vamos ter:
Então, vamos derivar essa expressão e igualar o resultado a zero para encontrar o ponto mínimo de .
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar expandindo os produtos da nossa expressão:
Agora substituindo , temos:
Derivando essa expressão, vamos obter:
Passo 3
Igualando esse resultado a zero, vamos encontrar os pontos críticos da função:
Colocando em evidência:
Logo,
Mas não nos gera soluções reais na nossa equação. Então, nossos pontos críticos são apenas . Substituindo esse valores em , temos:
Então, a distância é mínima no ponto .
Valeu, galera! Até a próxima! 😉