UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Rubens Sucupira - Lista 3, Questão 66
Determine os pontos da hipérbole mais próximos da origem.
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar a distância mínima entre os pontos da hipérbole e a origem que é o ponto . Pra isso, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos:
Vamos minimizar a função para :
Então, vamos substituir o valor de , derivar essa expressão e igualar o resultado a zero para encontrar o ponto m��nimo de .
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando nossa expressão:
Agora substituindo , temos:
Derivando essa expressão, vamos obter:
Passo 3
Igualando esse resultado a zero, vamos encontrar os pontos críticos da função:
Isolando :
Então, são os pontos críticos da função.
Passo 4
Agora vamos aplicar o teste da segunda derivada pra descobrir se esses são pontos de mínimo ou de máximo. Derivando , temos:
Substituindo , vamos obter:
E substituindo , temos:
Como , temos um ponto de mínimo, pelo teste da segunda derivada.
Passo 5
Então, pra acabar, vamos encontrar a coordenada do nosso ponto mínimo, substituindo em :
Então, o ponto da hipérbole mais próximos da origem é .
Valeu, galera! Até a próxima! 😉