Determine os pontos da hipérbole x y = 1 mais próximos da origem.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a distância mínima entre os pontos da hipérbole x y = 1 e a origem que é o ponto P ( 0 ,   0 ) . Pra isso, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos:

d = x - x 0 2 + y - y 0 2

Vamos minimizar a função d ( x ) para x 0 ,   y 0 = ( 0 ,   0 ) :

d x = x - 0 2 + y - 0 2

Então, vamos substituir o valor de y , derivar essa expressão e igualar o resultado a zero para encontrar o ponto m��nimo de d ( x ) .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando nossa expressão:

d x = x 2 + y 2

Agora substituindo y = 1 x , temos:

d x = x 2 + 1 x 2

d x = x 2 + 1 x 2 = x 4 + 1 x 2

Derivando essa expressão, vamos obter:

d ' x = x 4 - 1 x 2 x 4 + 1

Passo 3

Igualando esse resultado a zero, vamos encontrar os pontos críticos da função:

x 4 - 1 x 2 x 4 + 1 = 0

x 4 - 1 = 0

Isolando x :

x 4 = 1 → x = ± 1

Então, x = ± 1 são os pontos críticos da função.

Passo 4

Agora vamos aplicar o teste da segunda derivada pra descobrir se esses são pontos de mínimo ou de máximo. Derivando d ' x = x 4 - 1 x 2 x 4 + 1 , temos:

d ' ' x = 2 ( 3 x 4 + 1 ) x 3 x 4 + 1 x 4 + 1

Substituindo x = 1 , vamos obter:

d ' ' 1 = 2 ( 3 ( 1 ) 4 + 1 ) ( 1 ) 3 ( 1 ) 4 + 1 ( 1 ) 4 + 1 = 8 2 2 = 2 2

E substituindo x = - 1 , temos:

d ' ' - 1 = 2 ( 3 ( - 1 ) 4 + 1 ) ( - 1 ) 3 ( - 1 ) 4 + 1 ( - 1 ) 4 + 1 = 8 - 2 2 = - 2 2

Como d ' ' 1 > 0 , temos um ponto de mínimo, pelo teste da segunda derivada.

Passo 5

Então, pra acabar, vamos encontrar a coordenada y do nosso ponto mínimo, substituindo x = 1 em d ( x ) :

d x = x 4 + 1 x 2

d 1 = ( 1 ) 4 + 1 ( 1 ) 2 = 2

Então, o ponto da hipérbole x y = 1 mais próximos da origem é P 1 ,   2 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

1 ,   2

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