UFSCAR, São Carlos, Cálculo 2, P3 - 2018.2, Questão 3
Determine os pontos de máximo e mínimos locais, e pontos de sela da função
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu uma função de duas variáveis e pediu pra gente encontrar seus pontos de máximo, mínimo ou ponto de sela. Lembra como a gente faz isso em funções desse tipo?
A gente vai continuar calculando a primeira derivada e igualando a zero para encontrar os pontos críticos, como fazíamos nas funções de uma variável. O que vai mudar vai ser na hora de classificar esses pontos.
Isso porque, nas funções de duas variáveis, o nosso teste da derivada segunda vai consistir em calcular o determinante da matriz hessiana no ponto crítico e analisar seu sinal. Matriz quem?
A Hessiana, lembra dela? Vai ser essa aqui:
Calculando o determinante, vamos ter uma equação assim:
Aí dependendo do caso, esse ponto pode ser de máximo, mínimo ou ponto de sela (nem máximo nem mínimo). Se , então é um ponto de máximo ou mínimo. Aí nós analisamos:
Se é um ponto de mínimo.
Se é um ponto de máximo.
é ponto de sela
não se sabe.
Então, vamos lá verificar!
Passo 2
Para a nossa função , vamos começar calculando a primeira derivada e igualando a zero.
Derivando em relação a :
Derivando agora em relação a :
Nossos pontos críticos vão estar em:
Da primeira equação, temos:
Substituindo na segunda equação, temos:
Então, temos pontos críticos em e em .
Trabalhando agora com a segunda equação, , vamos isolar :
Supondo , temos a equação do segundo grau:
Resolvendo por Bhaskara:
Portanto, para , temos ou , que definem os pontos críticos e .
Passo 3
Agora nós vamos calcular as segundas derivadas e aplicar nos pontos críticos.
Derivando em relação a , temos:
Derivando agora em relação a :
Agora vamos derivar em relação a :
E em relação a :
Passo 4
Agora vamos colocar tudo na equação da Hessiana:
Mas primeiro, vamos aplicar as derivadas no ponto :
Substituindo na equação, temos:
Como , então é um ponto de máximo ou mínimo. Então vamos analisar o sinal de em . Como temos:
Então, é um ponto de máximo.
Passo 5
Agora vamos aplicar as derivadas no ponto :
Substituindo na equação, temos:
Como , então é um ponto de máximo ou mínimo. Então vamos analisar o sinal de em . Como temos:
Então, é um ponto de mínimo.
Passo 6
Agora vamos aplicar as derivadas no ponto :
Substituindo na equação, temos:
Como , temos um ponto de sela.
Passo 7
Agora vamos aplicar as derivadas no ponto :
Substituindo na equação, temos:
Como , temos também um ponto de sela.
E encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉