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Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 7 - Máximos e Mínimos, Questão 1.2b

1.2. Determine o valor máximo e o valor mínimo da função f sujeita às restrições explicitadas:

b. f ( x , y , z ) = x y z , sujeito a x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 6 ;

Passo 1

Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉

Nesse problema temos que obter o máximo e mínimo da função f ( x , y , z ) = x y z restrito à curva x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 6 .

Tem alguma ideia do que podemos fazer? 🤔

Quando temos que calcular os máximos e mínimos de uma função com alguma restrição é quase certo que temos que aplicar o método dos multiplicadores de Lagrange.

Dada uma função f e uma restrição g , podemos dizer que

∇ f x , y , z = λ ∇ g x , y , z

Assim, obtendo o valore de λ podemos encontrar uma maneira de obter x e y .

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Primeiro vamos obter o gradiente de f ...

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

∇ f x , y , z = ∂ x y z ∂ x , ∂ x y z ∂ y , ∂ x y z ∂ z

∇ f x , y , z = y z , x z , x y

Agora para a restrição g

∇ g x , y , z = ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y , ∂ g ∂ z

∇ g x , y , z = ∂ x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 - 6 ∂ x , ∂ x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 - 6 ∂ y , ∂ x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 - 6 ∂ z

∇ g x , y , z = 2 x , 4 y , 6 z

Substituindo na equação ∇ f x , y , z = λ ∇ g x , y , z

∇ f x , y , z = λ ∇ g x , y , z

y z , x z , x y = λ 2 x , 4 y , 6 z

y z = λ 2 x x z = λ 4 y x y = λ 6 z x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 6

Isolando λ ...

λ = y z 2 x λ = x z 4 y λ = x y 6 z x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 6

Igualando as equações de duas a duas

λ = y z 2 x = x z 4 y → y 2 x = x 4 y

y 2 x = x 4 y

4 y 2 = 2 x 2

2 y 2 = x 2

x = ± 2 y

Agora igualando a segunda com a terceira...

λ = x z 4 y = x y 6 z → z 4 y = y 6 z

6 z 2 = 4 y 2

y = ± 3 2 z

Portanto x = ± 2 y → x = ± 2 3 2 z  

x = ± 3 z

Tranquilo até aqui? 😬

Passo 3

Substituindo x e y na equação da restrição

x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 6

3 z 2 + 2 3 2 z 2 + 3 z 2 = 6

3 z 2 + 3 z 2 + 3 z 2 = 6

9 z 2 = 6

z = ± 2 3

Dessa forma, podemos definir x , y e z como

x = ± 2

y = ± 1

z = ± 2 3

Definindo esses valores em pontos, temos

P 1 = 2 , 1 , 2 3 , P 2 = - 2 , 1 , 2 3 , P 3 = 2 , - 1 , 2 3 , P 4 = 2 , 1 , - 2 3 , P 5 = - 2 , - 1 , 2 3 , P 6 = - 2 , 1 , - 2 3 ,   P 7 = 2 , - 1 , - 2 3 e P 8 = - 2 , - 1 , - 2 3

Para os pontos onde temos todos os termos positivos ou com dois termos negativos, temos

f = 2 · 1 · 2 3 = 2 3

Agora para os pontos que temos uma coordenada negativa ou todas as coordenadas negativas temos

f = - 2 · 1 · 2 3 = - 2 3

Portanto o valor máximo de f é 2 3 e o valor mínimo é - 2 3 .

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

Máximo: 2 3

Mínimo: - 2 3

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