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Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 7 - Máximos e Mínimos, Questão 1.2c

1.2. Determine o valor máximo e o valor mínimo da função f sujeita às restrições explicitadas:

c. f ( x , y , z ) = x 2 y 2 z 2 , sujeito a x 2 + y 2 + z 2 = 1 ;

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema temos que obter o máximo e mínimo da função f ( x , y , z ) = x 2 y 2 z 2 restrito à curva x 2 + y 2 + z 2 = 1 .

Tem alguma ideia do que podemos fazer? 🤔

Quando temos que calcular os máximos e mínimos de uma função com alguma restrição é quase certo que temos que aplicar o método dos multiplicadores de Lagrange.

Dada uma função f e uma restrição g , podemos dizer que

∇ f x , y , z = λ ∇ g x , y , z

Assim, obtendo o valore de λ podemos encontrar uma maneira de obter x e y .

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Primeiro vamos obter o gradiente de f ...

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

∇ f x , y , z = ∂ x 2 y 2 z 2 ∂ x , ∂ x 2 y 2 z 2 ∂ y , ∂ x 2 y 2 z 2 ∂ z

∇ f x , y , z = 2 x y 2 z 2 , 2 x 2 y z 2 , 2 x 2 y 2 z

Agora obtemos o gradiente da restrição g

∇ g x , y , z = ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y , ∂ g ∂ z

∇ g x , y , z = ∂ x 2 + y 2 + z 2 - 1 ∂ x , ∂ x 2 + y 2 + z 2 - 1 ∂ y , ∂ x 2 + y 2 + z 2 - 1 ∂ z

∇ g x , y , z = 2 x , 2 y , 2 z

Aplicando na equação ∇ f x , y , z = λ ∇ g x , y , z

2 x y 2 z 2 , 2 x 2 y z 2 , 2 x 2 y 2 z = λ 2 x , 2 y , 2 z

2 x y 2 z 2 = λ 2 x 2 x 2 y z 2 = λ 2 y 2 x 2 y 2 z = λ 2 z x 2 + y 2 + z 2 = 1

Isolando λ nas equações e igualando duas a duas...

λ = 2 x y 2 z 2 2 x λ = 2 x 2 y z 2 2 y λ = 2 x 2 y 2 z 2 z x 2 + y 2 + z 2 = 1 → λ = y 2 z 2 λ = x 2 z 2 λ = x 2 y 2 x 2 + y 2 + z 2 = 1

Igualando a primeira com a segunda

y 2 z 2 = x 2 z 2 → x = ± y

Agora a segunda com a terceira

x 2 z 2 = x 2 y 2 → y = ± z

Portanto obtemos que ± x = ± y = ± z

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Substituindo x e y na equação da restrição...

z 2 + z 2 + z 2 = 1

z = ± 1 3

Assim, podemos obter os pontos P 1 = 1 3 , 1 3 , 1 3 , P 2 = - 1 3 , 1 3 , 1 3 , P 3 = 1 3 , - 1 3 , 1 3 , P 4 = 1 3 , 1 3 , - 1 3 , P 5 = - 1 3 , - 1 3 , 1 3 , P 6 = - 1 3 , 1 3 , - 1 3 , P 7 = 1 3 , - 1 3 , - 1 3 e P 8 = - 1 3 , - 1 3 , - 1 3 .

Assim, como x , y e z estão elevados ao quadrado, em f então os sinais das coordenadas dos pontos não vão importar

f = 1 3 2 1 3 2 1 3 2

f = 1 3 · 1 3 · 1 3

f = 1 27

Só encontramos um valor, então podemos dizer que f é constante na restrição e igual a 1 27

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

f = 1 27

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