USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 7 - Máximos e Mínimos, Questão 1.2c
1.2. Determine o valor máximo e o valor mínimo da função sujeita às restrições explicitadas:
c. , sujeito a ;
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Nesse problema temos que obter o máximo e mínimo da função restrito à curva .
Tem alguma ideia do que podemos fazer? 🤔
Quando temos que calcular os máximos e mínimos de uma função com alguma restrição é quase certo que temos que aplicar o método dos multiplicadores de Lagrange.
Dada uma função e uma restrição , podemos dizer que
Assim, obtendo o valore de podemos encontrar uma maneira de obter e .
Sacou? Bora começar! 😉
Passo 2
Primeiro vamos obter o gradiente de ...
Agora obtemos o gradiente da restrição
Aplicando na equação
Isolando nas equações e igualando duas a duas...
Igualando a primeira com a segunda
Agora a segunda com a terceira
Portanto obtemos que
Tranquilo até aqui? 😁
Passo 3
Substituindo e na equação da restrição...
Assim, podemos obter os pontos , , , , , , e .
Assim, como , e estão elevados ao quadrado, em então os sinais das coordenadas dos pontos não vão importar
Só encontramos um valor, então podemos dizer que é constante na restrição e igual a
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍