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Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 7 - Máximos e Mínimos, Questão 1.2a

1.2. Determine o valor máximo e o valor mínimo da função f sujeita às restrições explicitadas:

a. f ( x , y ) = x y , sujeito a 5 x 2 + 5 y 2 + 6 x y - 64 = 0 ;

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema temos que obter o máximo e mínimo da função f ( x , y ) = x y restrito à curva 5 x 2 + 5 y 2 + 6 x y - 64 = 0 .

Tem alguma ideia do que podemos fazer? 🤔

Quando temos que calcular os máximos e mínimos de uma função com alguma restrição é quase certo que temos que aplicar o método dos multiplicadores de Lagrange.

Dada uma função f e uma restrição g , podemos dizer que

∇ f x , y = λ ∇ g x , y

Assim, obtendo o valore de λ podemos encontrar uma maneira de obter x e y .

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Primeiro vamos obter o gradiente de f ...

∇ f x , y = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

∇ f x , y = ∂ x y ∂ x , ∂ x y ∂ y

∇ f x , y = y , x

Agora calculamos o vetor gradiente de g

∇ g x , y = ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y

∇ g x , y = ∂ 5 x 2 + 5 y 2 + 6 x y - 64 ∂ x , ∂ 5 x 2 + 5 y 2 + 6 x y - 64 ∂ y

∇ g x , y = 10 x + 6 y , 10 y + 6 x

Fazendo ∇ f x , y = λ ∇ g x , y

y , x = λ 10 x + 6 y , 10 y + 6 x

y = λ 10 x + 6 y x = λ 10 y + 6 x 5 x 2 + 5 y 2 + 6 x y - 64 = 0

Isolando λ e igualando as duas equações

λ = y 10 x + 6 y λ = x 10 y + 6 x 5 x 2 + 5 y 2 + 6 x y - 64 = 0

y 10 x + 6 y = x 10 y + 6 x

10 y + 6 x y = x 10 x + 6 y

10 y 2 + 6 x y = 10 x 2 + 6 x y

x 2 = y 2 → x = y x = - y

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Assim, se x = y , então

5 x 2 + 5 x 2 + 6 x x - 64 = 0

16 x 2 = 64

x = y = ± 2

Se x = - y

5 x 2 + 5 - x 2 + 6 x - x - 64 = 0

5 x 2 + 5 x 2 - 6 x 2 - 64 = 0

4 x 2 = 64

x = ± 4

Assim, encontramos os pontos P 1 = 2,2 , P 2 = - 2 , - 2 , P 3 = 4 , - 4 e P 4 = - 4,4

Para P 1 ...

f 2,2 = 2 · 2 = 4

Para P 2 ...

f - 2 , - 2 = - 2 · - 2 = 4

Para P 3 ...

f 4 , - 4 = 4 · - 4 = - 16

Para P 4 ...

f - 4,4 = - 4 · 4 = - 16

Assim, vemos que o ponto máximo de f �� 4 e o ponto mínimo é - 16 .

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

Máximo: 4

Mínimo: - 16

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