USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 7 - Máximos e Mínimos, Questão 1.3a
1.3. Determine o valor máximo e o valor mínimo de na região sendo
a. e ;
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Nesse problema queremos obter os pontos máximos e mínimos da função dentro da região limitada pela esfera .
Parece de boa? 👀
Nesses casos, quando temos que obter os pontos máximos e mínimos podemos seguir uns passos...
Primeiro calculamos os pontos críticos de normalmente e verificamos se esses pontos estão dentro da região ... caso eles não estiverem, descartamos.
Depois calculamos os pontos críticos nas bordas da região pelo método de multiplicadores de Lagrange dado por.
Sacou? Bora começar! 😉
Passo 2
Analisando a equação que limita vemos que se trata de uma esfera de raio .
Calculando os pontos críticos de , temos que em ...
Agora em , temos
Por último em
Portanto encontramos apenas um ponto crítico em dado por , para saber se esse ponto está dentro da região podemos substitui-lo na equação da esfera
Como a inequação foi satisfeita, está incluso no nosso problema.
Tranquilo até aqui? 😉
Passo 3
Agora vamos analisar a borda da região , pra isso, usamos o método de multiplicadores de Lagrange.
Sabendo que as derivadas parciais de são dadas por
E as derivadas parciais da restrição
A equação será dada por
Igualando es equações duas a duas...
Agora a segunda com a terceira.
Substituindo e em função de na equação da restrição
Bacana, não é? 😐
Passo 4
Com isso conseguimos encontrar três pontos em que é extremo dentro da região
Substituindo em , temos
Para
Para
Portanto vemos que o máximo de é em e o mínimo é em
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
Resposta
O máximo de é em e o mínimo é em