UFSC, Joinvile, Cálculo II, Provas Profº Rómulo Castillo - P2 2016.2, Questão 3
Determine os valores máximo e mínimo (relativos) de .
Passo 1
Eaew, belezinha?
A questão pede para a gente determinar os pontos de máximos e mínimos relativos da função f(x,y). Mas o que é isso, exatamente? Os máximos relativos são pontos de “picos”: localmente, é um ponto onde a função f(x,y) é maior que todos os pontos vizinhos. A definição de mínimo relativo é semelhante: são os chamados “vales”, onde, localmente, a função f(x,y) é menor que todos os seus pontos vizinhos.
E como a gente encontra esses valores? Bem, se uma função contínua cresce até atingir um máximo, a sua derivada antes do ponto é positiva, no ponto ela é nula e, em seguida, negativa, porque a função precisa decrescer a partir daí para que ele tenha sido um máximo! A mesma coisa ocorre com um mínimo, mas com sinal oposto para a derivada: ela é negativa, passa pra nula e em seguida, fica positiva.
Então já deu pra ver que, para calcular os máximos e mínimos vamos precisar derivar a função, né? Então bora lá!
Passo 2
A função f é uma função de duas variáveis, então temos que encontrar os pontos (x,y) onde seus valores são extremizados. Para isso, vamos calcular as suas derivadas parciais e igualá-las a zero, como explicado anteriormente.
Para calcular a derivada parcial de f em relação à x, consideramos y como constante e derivamos:
Quando isso é igual a zero, temos
Agora, para calcular as derivada parcial de f em relação à y, consideramos x como constante:
Igualando isso à zero, obtemos:
Os pontos (x,y) que satisfazem essas duas equações simultaneamente são: (0,0), (1,-1), (-1,-1).
Agora só precisamos descobrir se esses pontos são pontos de máximo ou de mínimo. Então, vamos substituí-los na nossa função!
Passo 3
Quando inserimos o ponto (0,0) na função, obtemos
Então, no ponto (0,0), a função vale 5.
Quando inserimos o ponto (1,-1) na função, obtemos
Semelhantemente, inserindo o ponto (-1,-1) na função, encontramos
Então, temos que (0,0), onde a função vale 5, é um ponto de mínimo relativo e, os pontos (1,-1) e (-1,-1), onde a função vale 6, são pontos de máximo relativo.
Resposta
Mínimo relativo = 5, em (0,0)
Máximo relativo = 6, em (1,-1) e (-1, -1)