UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Rubens Sucupira - Lista 3, Questão 62
Dividir o número em duas partes tais que o produto de uma pelo quadrado da outra seja o
maior possível.
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente dividir o número em duas partes. Vamos chamar uma das partes de . Assim, a outra parte será o que restou, ou seja, .
Daí, o produto de um desses números pelo quadrado do outro precisa ser o maior possível. Vamos chamar esse produto de e teremos:
Então, vamos usar essa expressão para encontrar o maior valor possível para . Para isso, vamos derivar essa equação e igualar o resultado a zero. Dessa forma, teremos os candidatos a máximo da função e vamos avaliar qual deles atende ao nosso problema.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar expandindo o produto da nossa função:
Agora vamos derivar em relação a :
Igualando esse resultado a zero:
Didividindo todo mundo por pra simplificar, temos:
Fatorando:
Pra que esse produto seja verdadeiro um dos termos precisa ser zero. Então, temos:
Essas são as raízes da nossa equação e candidatos a máximo da nossa função. Mas não é uma solução possível, porque esse já é o nosso valor total. Então, nosso único resultado possível será . Dessa forma, dividiremos o números nas partes:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉