USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Helton Bíscaro - Lista 5, Questão 5a
Encontre os pontos críticos das seguintes funções:
Passo 1
Para encontrar os pontos críticos da função precisamos primeiro calcular sua derivada e, em seguida, encontrar os valores de onde a derivada se iguala a zero.
Os pontos onde a derivada é zero são os candidatos a pontos críticos.
Vamos calcular isso passo a passo:
Calcule a derivada da função em relação a
Usando as regras de derivação, temos:
Passo 2
Igualar a derivada a zero e resolver para
Fatorando como um termo comum:
Isso nos dá duas soluções possíveis para :
Resolvendo a segunda equação para
Portanto, os valores de nos pontos críticos são
Passo 3
Para determinar a natureza dos pontos críticos, podemos usar a segunda derivada.
Vamos calcular a segunda derivada de
Agora, podemos substituir os valores dos pontos críticos na segunda derivada para determinar a concavidade:
Para
Como a segunda derivada é positiva, isso indica que a função está côncava para cima no ponto , sugerindo um mínimo local.
Como a segunda derivada é negativa, isso indica que a função está côncava para baixo no ponto sugerindo um máximo local.
Portanto, a função tem um ponto crítico de mínimo local em e um ponto crítico de máximo local em .
Resposta
Portanto, a função tem um ponto crítico de mínimo local em e um ponto crítico de máximo local em .