Encontre os pontos críticos das seguintes funções:

  1. f x - x 3 + x 2 + 1

Passo 1

Para encontrar os pontos críticos da função f x = - x 3 + x 2 + 1 , precisamos primeiro calcular sua derivada e, em seguida, encontrar os valores de x   onde a derivada se iguala a zero.

Os pontos onde a derivada é zero são os candidatos a pontos críticos.

Vamos calcular isso passo a passo:

Calcule a derivada da função f x em relação a ( x )

f x ' = d d x ( - x 3 + x 2 + 1 )

Usando as regras de derivação, temos:

f ' x = - 3 x 2 + 2 x = 0

Passo 2

Igualar a derivada a zero e resolver para x :

- 3 x 2 + 2 x = 0

Fatorando x   como um termo comum:

- 3 x + 2 = 0

Isso nos dá duas soluções possíveis para x :

x = 0     o u - 3 x + 2 = 0

Resolvendo a segunda equação para x :

- 3 x   +   2   =   0  

  - 3 x   =   - 2  

  x   = 2 3

Portanto, os valores de x   nos pontos críticos são x = 0   e   x = 2 / 3

Passo 3

Para determinar a natureza dos pontos críticos, podemos usar a segunda derivada.

Vamos calcular a segunda derivada de f ( x )

f x : f ' ' x = d 2 / d x 2 ( - 3 x 2 + 2 x )

f ' ' x = - 6 x + 2

Agora, podemos substituir os valores dos pontos críticos na segunda derivada para determinar a concavidade:

Para x = 0

f ' ' 0 = - 6 0 + 2

f ' ' 0 = 2

Como a segunda derivada é positiva, isso indica que a função está côncava para cima no ponto x = 0 , sugerindo um mínimo local.

f ' ' 2 / 3 = - 6 2 / 3 + 2

f ' ' 2 / 3 = - 2

Como a segunda derivada é negativa, isso indica que a função está côncava para baixo no ponto x = 2 / 3   sugerindo um máximo local.

Portanto, a função tem um ponto crítico de mínimo local em x = 0 e um ponto crítico de máximo local em x = 2 / 3 .

Resposta

Portanto, a função tem um ponto crítico de mínimo local em x = 0 e um ponto crítico de máximo local em x = 2 / 3 .

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