USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 7 - Máximos e Mínimos, Questão 2.1
Encontre os pontos da elipse mais próximos de (0, 0).
Passo 1
Beleza? Yuri aqui e o que devemos fazer na resolução de hoje é encontrar uma maximização da função de distancia em relação a origem. Os pontos no são definidos por componentes retangulares em relação ao eixo x e ao eixo y. Assim, a distancia entre um ponto e a origem sempre pode ser obtida por Pitágoras, dizendo que essa distancia R é
Passo 2
Beleza, agora temos essa função, vamos montar a relação de LaGrande:
Em que , a equação da elipse
Passo 3
Precisamos encontrar entao as derivadas parciais da elipse e da função distancia, para formar seus vetores gradientes.
Agora vamos encontrar as derivadas parciais da elipse. Derivando em relação a x, temos:
Derivando em relação a y, temos:
E o vetor gradiente fica:
Agora com tudo pronto, podemos montar o nosso querido sistema:
Agora reorganizando,
Agora temos a tarefa de resolver o querido, hehe
Desenvolvendo melhor
Isso nos diz duas coisas
Passo 4
Colocando essas duas opções na terceira equação,
Como nesse momento optamos por
Agora é hora de
E como escolhemos
E
Agora iremos jogar na equação da distancia e ver quais são os pontos mais próximos
Entao os pontos são