UFF, Sem Campus, Cálculo IIB, P2 - Prof. Jorge Delgado - 2023 - Verão, Questão 3b.
3(b) Encontre os pontos no interior de , caso existam, onde a função alcança valores extremos locais
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Nesse problema queremos saber se há pontos de máximos ou mínimos locais no interior da região .
E aí, parece tranquilo? 👀
Quando temos um ponto máximo ou mínimo de uma função, significa que a derivada parcial daquele ponto é .
Nesse caso, como nossa função é tridimensional, dizemos que o ponto está onde o gradiente de é um vetor nulo.
Entendeu? Bora começar!
Passo 2
O vetor gradiente de uma função é dado por
Derivando pelo método de derivação polinomial em , temos
Pelo mesmo método, mas agora em ...
Igualando o gradiente a um vetor nulo, temos
Dessa igualdade tiramos que
Portanto o único ponto crítico é em .
Porém, como estamos interessados nos pontos que estão no interior de , esse ponto não satisfaz nosso problema, pois ele está justamente na borda de .
Logo, não há pontos de máximos ou mínimos de em .
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
Resposta
Não há pontos de máximos ou mínimos de em .