3(b) Encontre os pontos no interior de D , caso existam, onde a função f x , y = x y 2 alcança valores extremos locais

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema queremos saber se há pontos de máximos ou mínimos locais no interior da região D .

E aí, parece tranquilo? 👀

Quando temos um ponto máximo ou mínimo de uma função, significa que a derivada parcial daquele ponto é 0 .

Nesse caso, como nossa função é tridimensional, dizemos que o ponto está onde o gradiente de f é um vetor nulo.

Entendeu? Bora começar!

Passo 2

O vetor gradiente de uma função é dado por

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

Derivando f pelo método de derivação polinomial em x , temos

∂ f ∂ x = y 2

Pelo mesmo método, mas agora em y ...

∂ f ∂ y = 2 x y

Igualando o gradiente a um vetor nulo, temos

∇ f = y 2 , 2 x y = 0,0

Dessa igualdade tiramos que

y 2 = 0 2 x y = 0 → y = 0 x = 0

Portanto o único ponto crítico é em 0,0 .

Porém, como estamos interessados nos pontos que estão no interior de D , esse ponto não satisfaz nosso problema, pois ele está justamente na borda de D .

Logo, não há pontos de máximos ou mínimos de f em D .

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

Não há pontos de máximos ou mínimos de f em D .

Exercícios de Livros Relacionados

O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da funçãof (x) = 5 x^2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da funçãoh (p) = (p - 1)/(p^2 + 4)