UFABC – Cálculo 1 – Lista 4 – 10c
Encontre os pontos de máximo e mínimo globais da função dentro de .
Passo 1
Para encontrar os pontos de máximo e mínimo globais de uma função com restrição o processo é sempre o mesmo: Verificar se há um ponto crítico dentro da região, e verificar se há máximos e mínimos na fronteira da região.
Verificando pontos críticos dentro da região:
Assim,
Passo 2
Como nos pontos críticos , então
Logo, temos 4 pontos críticos, que são as combinações dos e que encontramos. São eles:
Os pontos e já podem ser descartados, já que eles ficam fora da região que estamos considerando ().
Passo 3
Então guardamos os pontos e . Também precisamos guardar os vértices do retângulo que é a nossa região.
São os pontos:
Portanto, temos mais 4 pontos candidatos a máximo e mínimo.
Passo 4
Agora, devemos verificar pontos de máximo ou mínimo na fronteira.
Assim, temos 4 lados a serem verificados:
Quando em que são os lados do retângulo.
Em cada lado a função só depende de uma variável, e nós temos que achar os pontos críticos dessas 4 “subfunções”.
Passo 5
Comecemos pelo lado . Lembrando a nossa função:
E o primeiro lado:
Substituindo o lado na função:
Temos que achar o valor de máximo dessa função, vamos derivar e igualar a zero. Neste caso derivamos em relação a
Então temos pontos críticos em
E
Passo 6
Agora precisamos fazer o mesmo pro segundo lado :
Substituindo esse lado na função, teremos:
Desenvolvendo,
Temos que achar os pontos críticos dessa função, vamos derivar e igualar a zero. Neste caso derivamos em relação a
Então temos os pontos
E
Mas já vimos antes esses dois pontos como pontos críticos de , então o lado 2 não acrescentou nada de novo!
Passo 7
Vamos verificar para o terceiro lado :
Substituindo-o na função:
Desenvolvendo,
Neste caso derivamos em relação a
(lembrando que .
Assim, obtemos o ponto . Mas ele nós já consideramos, é um vértice do retângulo!
Então o lado 3 também não acrescentou nada novo.
Passo 8
Finalmente!! Esse é o último lado! Aguente firme!!! Não tem nada de especial nele... só repetir o mesmo processo que fizemos até agora.
Quarto lado:
Substituindo-o na função:
Desenvolvendo,
Temos que achar os pontos críticos, vamos derivar e igualar a zero. Neste caso derivamos em relação a
E vamos ter o ponto , que também já achamos!
Passo 9
Ok, agora já temos todo o material necessário para terminar de vez com isso e dizer quais são os pontos de máximo e mínimo!
Os nossos candidatos são os pontos:
Passo 10
Só nos resta calcular o valor da função em cada ponto. Lembrando que
Então temos
Show, então os ponto de mínimo global e máximo global de são, respectivamente, e .
O valor mínimo é e o valor máximo é .