Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos

Ver Teoria
Exercício 367123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 7 - Máximos e Mínimos, Questão 1.4c

1.4. Encontre os pontos de máximo e de mínimo de f em C , sem parametrizar C , quando

c. f x , y , z = x + y + z e C = x , y , z ∈ R 3 : x 2 + y 2 = 1   e   4 x + 4 y = z 2 ;

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nesse problema temos que obter o máximo e mínimo da função f x , y , z = x + y + z restrito à curva x 2 + y 2 = 1 e 4 x + 4 y = z 2 .

Tem alguma ideia do que podemos fazer? 🤔

Quando temos que calcular os máximos e mínimos de uma função com alguma restrição é quase certo que temos que aplicar o método dos multiplicadores de Lagrange.

Dada uma função f , uma restrição g e uma segunda restrição h , podemos dizer que

∇ f x , y , z = λ ∇ g x , y , z + μ ∇ h x , y , z

Assim, obtendo os valores de λ e μ podemos encontrar uma maneira de obter x , y e z .

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Calculando o gradiente de f

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ y = ∂ x + y + z ∂ x , ∂ x + y + z ∂ y , ∂ x + y + z ∂ y

∇ f = 1 , 1 , 1

Agora para g

∇ g = ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y , ∂ g ∂ y = ∂ x 2 + y 2 - 1 ∂ x , ∂ x 2 + y 2 - 1 ∂ y , ∂ x 2 + y 2 - 1 ∂ y

∇ g = 2 x , 2 y , 0

E para h

∇ h = ∂ h ∂ x , ∂ h ∂ y , ∂ h ∂ y = ∂ 4 x + 4 y - z 2 ∂ x , ∂ 4 x + 4 y - z 2 ∂ y , ∂ 4 x + 4 y - z 2 ∂ y

∇ h = 4 , 4 , - 2 z

Aplicando os vetores na equação

∇ f x , y , z = λ ∇ g x , y , z + μ ∇ h x , y , z

1 = λ 2 x + μ 4 1 = λ 2 y + μ 4 1 = λ 0 + μ - 2 z �� 1 = λ 2 x + μ 4 1 = λ 2 y + μ 4 1 = μ - 2 z

Isolando λ

λ = 1 2 x - 4 μ λ = 1 2 y - 4 μ μ = - 1 2 z

1 2 x - 4 μ = 1 2 y - 4 μ

x = y

Substituindo na equação h

4 x + 4 x = z 2 → z = ± 2 2 x

Agora fazendo x = y na equação g

x 2 + y 2 = 1 → x 2 + x 2 = 1

x = 1 2

Para z = 2 2 x , x tem que ser maior que 0 .

Assim, encontramos alguns pontos que podemos verificar mais tarde

P 1 = 1 2 , 1 2 , 2 2 4 e P 2 = 1 2 , 1 2 , - 2 2 4

Tranquilo até aqui? 😬

Passo 3

Manipulando a equação h para substituir em f , temos

x + y = z 2 4

Como f = x + y + z , então podemos reescrever f como

f z = z 2 4 + z

Derivando f e igualando a 0

f z = z 2 + 1 = 0 → z = - 2

Substituindo em h

x + y = - 2 2 4 → x + y = 1

x = 1 - y

Agora substituindo x na equação g

1 - y 2 + y 2 = 1

1 - 2 y + y 2 + y 2 = 1

y 2 + y = 0

y = 0

y = 1

Assim, se y = 0 , então x = 1 .

Mas se y = 1 , x = 0 e em ambos os casos z = - 2 ...

Portanto encontramos mais dois pontos para verificar

P 3 = 1,0 , - 2 e P 4 = 0,1 , - 2

Relaxa que estamos quase no fim! 👀

Passo 4

Substituindo os pontos na função f , vamos obter

f x , y , z = x + y + z

Para P 1

f P 1 = 1 2 + 1 2 + 2 2 4 = 2 + 2 2 4

Agora para P 2

f P 2 = 1 2 + 1 2 - 2 2 4 = 2 - 2 2 4

Para P 3

f P 3 = 1 + 0 - 2 = - 1

E para P 4

f P 4 = 0 + 1 - 2 = - 1

Assim vemos que P 1 é o ponto máximo e P 3 e P 4 são os pontos mínimos.

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

P 1 = 1 2 , 1 2 , 2 2 4 é ponto máximo e P 3 = 1,0 , - 2 e P 4 = 0,1 , - 2 são os pontos mínimos.

Exercícios de Livros Relacionados

O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da funçãof (x) = 5 x^2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da funçãoh (p) = (p - 1)/(p^2 + 4)