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Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 7 - Máximos e Mínimos, Questão 1.4d

1.4. Encontre os pontos de máximo e de mínimo de f em C , sem parametrizar C , quando

d. f x , y , z = x 3 + y 3 + z 3 e C = x , y , z ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1   e   x + y + z = 1 ;

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema temos que obter o máximo e mínimo da função f x , y , z = x 3 + y 3 + z 3 restrito à curva x 2 + y 2 + z 2 = 1 e x + y + z = 1 .

Tem alguma ideia do que podemos fazer? 🤔

Quando temos que calcular os máximos e mínimos de uma função com alguma restrição é quase certo que temos que aplicar o método dos multiplicadores de Lagrange.

Dada uma função f , uma restrição g e uma segunda restrição h , podemos dizer que

∇ f x , y , z = λ ∇ g x , y , z + μ ∇ h x , y , z

Assim, obtendo os valores de λ e μ podemos encontrar uma maneira de obter x , y e z .

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Se f = x 3 + y 3 + z 3 , o seu gradiente é dado por

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z = ∂ x 3 + y 3 + z 3 ∂ x , ∂ x 3 + y 3 + z 3 ∂ y , ∂ x 3 + y 3 + z 3 ∂ z

∇ f = 3 x 2 , 3 y 2 , 3 z 2

Agora se g = x 2 + y 2 + z 2 - 1 , seu gradiente é

∇ g = ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y , ∂ g ∂ z = ∂ x 2 + y 2 + z 2 - 1 ∂ x , ∂ x 2 + y 2 + z 2 - 1 ∂ y , ∂ x 2 + y 2 + z 2 - 1 ∂ z

∇ g = 2 x , 2 y , 2 z

Por último se h = x + y + z - 1 , calculando seu gradiente...

∇ h = ∂ h ∂ x , ∂ h ∂ y , ∂ h ∂ z = ∂ x + y + z - 1 ∂ x , ∂ x + y + z - 1 ∂ y , ∂ x + y + z - 1 ∂ z

∇ h = 1,1 , 1

Aplicando a fórmula ∇ f x , y , z = λ ∇ g x , y , z + μ ∇ h x , y , z

3 x 2 , 3 y 2 , 3 z 2 = λ 2 x , 2 y , 2 z + μ 1,1 , 1

3 x 2 = λ 2 x + μ 1 3 y 2 = λ 2 y + μ 1 3 z 2 = λ 2 z + μ 1

λ = 3 x 2 2 x - μ λ = 3 y 2 2 y - μ λ = 3 z 2 2 z - μ → λ = 3 x 2 - μ λ = 3 y 2 - μ λ = 3 z 2 - μ

Daqui a gente tira que x = y = z , ou seja, substituindo em h

x + y + z = 1 → 3 z = 1

z = ± 1 3

Substituindo z em g e fazendo x = y

x 2 + x 2 + 1 3 2 = 1

2 x 2 = 1 - 1 9

x = ± 2 3

Com isso, encontramos quatro pontos...

P 1 = 2 3 , 2 3 , 1 3 , P 2 = - 2 3 , - 2 3 , 1 3 , P 3 = 2 3 , 2 3 , - 1 3 e P 4 = - 2 3 , - 2 3 , - 1 3 ,

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Isolando z em h e substituindo em f ...

x + y + z = 1 → z = 1 - x - y

Substituindo em f

f x , y = x 3 + y 3 + 1 - x - y 3

f x , y = 3 x 2 - 3 x 2 y - 3 x + 6 x y + 3 y 2 - 3 y - 3 x y 2 + 1

Calculando o gradiente dessa função e igualando a 0

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y = 6 x - 6 x y - 3 + 6 y - 3 y 2 , - 3 x 2 + 6 x + 6 y - 3 - 6 x y = 0 →

6 x - 6 x y - 3 + 6 y - 3 y 2 = 0 - 3 x 2 + 6 x + 6 y - 3 - 6 x y = 0

Igualando as duas equações...

6 x - 6 x y - 3 + 6 y - 3 y 2 = - 3 x 2 + 6 x + 6 y - 3 - 6 x y

3 y 2 = - 3 x 2

x = - y

Substituindo em h de volta...

x - z + z = 1 → z = 1

Assim, se z = 1 , em g teremos

x 2 + y 2 + 1 2 = 1

x 2 + y 2 = 0 → x = y = 0

Se no começo dessa etapa, quando isolamos z em x + y + z = 1 , tivéssemos isolado x ou y íamos encontrar x = 1 e y = 1 .

Por conta dessa simetria, encontramos mais três pontos que são de nosso interesse...

P 5 = 0,0 , 1 , P 6 = 0,1 , 0 e P 7 = 1,0 , 0

Bacana, não é? 😉

Passo 4

Por fim, vamos obter a imagem de f nos pontos que encontramos até aqui e ver qual é o maior e qual é o menor

f x , y , z = x 3 + y 3 + z 3

Para P 1 = 2 3 , 2 3 , 1 3

f P 1 = 2 3 3 + 2 3 3 + 1 3 3 = 17 27

Para P 2 = - 2 3 , - 2 3 , 1 3

f P 2 = - 2 3 3 + - 2 3 3 + 1 3 3 = - 5 9

Para P 3 = 2 3 , 2 3 , - 1 3

f P 3 = 2 3 3 + 2 3 3 + - 1 3 3 = 5 9

Para P 4 = - 2 3 , - 2 3 , - 1 3

f P 4 = - 2 3 3 + - 2 3 3 + - 1 3 3 = - 17 27

Para P 5 = 0,0 , 1

f P 5 = 0 3 + 0 3 + 1 3 = 1

Para P 6 = 0,1 , 0

f P 6 = 0 3 + 1 3 + 0 3 = 1

Para P 7 = 1,0 , 0

f P 7 = 1 3 + 0 3 + 0 3 = 1

Assim, vemos que o ponto mínimo de f é dado pelo ponto P 4 = - 2 3 , - 2 3 , - 1 3 e o ponto máximo, pelos pontos P 5 = 0,0 , 1 , P 6 = 0,1 , 0 e P 7 = 1,0 , 0 .

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

O ponto mínimo de f é dado pelo ponto P 4 = - 2 3 , - 2 3 , - 1 3 e o ponto máximo, pelos pontos P 5 = 0,0 , 1 , P 6 = 0,1 , 0 e P 7 = 1,0 , 0 .

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