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Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 7 - Máximos e Mínimos, Questão 1.4a

1.4. Encontre os pontos de máximo e de mínimo de f em C , sem parametrizar C , quando

a. f x , y = x 3 y e C = x , y ∈ R 2 : x 2 + 2 y 2 = 1 ;

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema temos que obter o máximo e mínimo da função f x , y = x 3 y restrito à curva x 2 + 2 y 2 = 1 .

Tem alguma ideia do que podemos fazer? 🤔

Quando temos que calcular os máximos e mínimos de uma função com alguma restrição é quase certo que temos que aplicar o método dos multiplicadores de Lagrange.

Dada uma função f e uma restrição g , podemos dizer que

∇ f x , y = λ ∇ g x , y

Assim, obtendo o valor de λ podemos encontrar uma maneira de obter x e y .

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Primeiro calculamos o gradiente de f , ou seja

∇ f x , y = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y = ∂ x 3 y ∂ x , ∂ x 3 y ∂ y

∇ f x , y = 3 x ² y , x 3

Agora obtemos o gradiente de g

∇ g x , y = ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y = ∂ x 2 + 2 y 2 - 1 ∂ x , ∂ x 2 + 2 y 2 - 1 ∂ y

∇ g x , y = 2 x , 4 y

Substituindo na equação

∇ f x , y = λ ∇ g x , y

3 x ² y , x 3 = λ 2 x , 4 y

3 x 2 y = λ 2 x x 3 = λ 4 y

Isolando λ

λ = 3 x 2 y 2 x λ = x 3 4 y → λ = 3 x y 2 λ = x 3 4 y

Igualando as duas equações, chegamos em

3 x y 2 = x 3 4 y

6 y 2 = x 2

x = ± 6 y

Substituindo x na equação de restrição, chegamos em

x 2 + 2 y 2 = 1 → 6 y 2 + 2 y 2 = 1

y 2 = 1 8 → y = ± 1 2 2

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Como y = ± 1 2 2 , temos que x = ± 6 y = ± 3 2

Com isso encontramos quatro pontos para analisar...

P 1 = 3 2 , 1 2 2

P 2 = - 3 2 , 1 2 2

P 3 = 3 2 , - 1 2 2

P 4 = - 3 2 , - 1 2 2

Por fim, substituímos os pontos que encontramos na função f para obter as imagens e analisar quais tem o maior e o menor valor.

Para P 1

f P 1 = 3 2 3 1 2 2 = 3 6 32

Para P 2

f P 2 = - 3 2 3 1 2 2 = - 3 6 32

Para P 3

f P 3 = 3 2 3 - 1 2 2 = - 3 6 32

E para P 4

f P 4 = - 3 2 3 - 1 2 2 = 3 6 32

Portanto, os pontos mínimos são ± - 3 2 , 1 2 2 e os pontos máximos são ± 3 2 , 1 2 2

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

Os pontos mínimos são ± - 3 2 , 1 2 2 e os pontos máximos são ± 3 2 , 1 2 2

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