UTFPR– Cálculo 2 – Lista 2022.2 – Questão 6a
Encontre todos os pontos de máximos, mínimos ou pontos de sela da função:
Passo 1
Olá, tudo tranquilo por aí? O problema nos dá essa função aqui
E pede todos os pontos de máximos, mínimos ou pontos de sela. Mas você lembra como encontrar esses pontos?
Estamos falando de pontos críticos! Pontos críticos são onde as derivadas parciais (no nosso caso e ) são nulas!
E para classificar esses pontos, precisamos encontrar o determinante da matriz Hessiana:
Temos três opções para classificar o ponto :
- Se :
- Se temos que é ponto de sela
- Se o teste é inconclusivo
Então a ideia aqui é calcular as derivadas parciais, igualar a zero, resolver o sistema resultante. Disso vamos achar os pontos críticos! Aí com esses pontos é #partiu classificação!
Belezinha até aqui?
Passo 2
Nossa função é a seguinte
Calculando (considerando que é constante, pois estamos falando de derivadas parciais) e igualando a zero temos
Beleza? Vamos guardar esse resultado! Vamos agora calcular (considerando que é constante) e depois combinar os resultados:
Combinando os 2 resultados temos um sistema:
Substituindo a segunda na primeira temos
Encontramos ! Agora vamos substituir na segunda para encontrar o :
Prontinho! Encontramos apenas um ponto crítico .
Tudo bem até aqui? Nossa missão agora é classificar esse ponto!
Passo 3
Para classificar precisamos encontrar aquele
Do passo :
Agora vamos derivar de novo com relação a pra achar e derivar com relação a pra achar :
E também vamos derivar com relação a mais uma vez:
Assim é
Beleza?
Passo 4
Nosso ponto crítico é , então vamos classificar ele:
Encontramos que , então para classificar de forma completa, precisamos encontrar o valor de :
É positivo também! Então isso nos diz que é ponto de mínimo
E esse é nosso único ponto crítico!
E é isso galera! Vamos para a próxima?